§ 1.7. УСЕЧЕНИЕ И ГРУППИРОВКА

1.7.1. Усечение.

Если в последовательной процедуре нельзя проводить более испытаний, то такая процедура называется усеченной на последовательной процедурой. Эффективного построения оптимальной усеченной последовательной процедуры пока не найдено. Однако можно проводить испытания до включительно согласно оптимальной неусеченной последовательной процедуре. Если при этом не произойдет выхода коэффициента правдоподобия за пороги, то на шаге можно провести выбор между гипотезами согласно оптимальной однопороговой классической процедуре. В целом такая процедура не будет оптимальной в смысле § 1.2.

Итак, будем характеризовать нашу усеченную на шаге последовательную процедуру тремя порогами первые два для ее последовательной части, а последний для классической. Естественно, при заданных гипотезах установить, к каким мы приходим в зависимости от выбора порогов

Наша процедура состоит в последовательном испытании логарифма коэффициента правдоподобия

Если до шага не произойдет пересечения то на шаге при принимается гипотеза а при гипотеза

Пороги обеспечивающие в неусеченной последовательной процедуре вероятности ошибок первого и второго рода , в нашем случае приводят к большим вероятностям ошибок. В самом деле, в нашем случае, если на самом деле имеет место гипотеза может случиться, что окажется на шаге больше и будет принята гипотеза в то время как при продолжении

последовательного анализа достигла бы нижнего порога и ошибки бы не произошло. Можно показать [1], что вероятность ошибки первого рода о! в усеченной последовательной процедуре удовлетворяет неравенству

аналогично, если имеет место то вероятность ошибки второго рода

Для случая большого и если существует (см. 1.117), то можно для оценки вероятностей в правых частях (1.136) и (1.137) воспользоваться нормальной аппроксимацией. Будем иметь

Если выбрать так, чтобы

то, как легко видеть, с ростом Для случая близких гипотез естественно выбрать т. е.

В работе [1] в общем случае положено Тогда (см. имеем

В работе [31] приводятся более сильные оценки чем (1.140) и (1.141) со ссылками на вывод их в неопубликованной работе.

1.7.2. Группировка.

Группировка испытаний в группы по 5 испытаний в каждой математически сводится к представлению логарифмов отношения правдоподобия в виде

где

- «группированная» случайная величина.

Такая группировка оправдана в двух случаях: либо для близких гипотез (см. п. 1.5.4), либо для маловероятных положительных исходов (см. далее 2.5.4).

В обоих случаях такая группировка вызывается практическими соображениями, связанными с "медленностью накопления" суммы . Поэтому последовательный анализ каждого вносящего малый вклад в отдельного случайного слагаемого С. нецелесообразен и имеет смысл анализировать сразу суммы по 5 слагаемых в каждой.

Число слагаемых при этом должно удовлетворять двум противоположным требованиям. С одной стороны, чем 5 больше, тем быстрее можно производить анализ. С другой стороны, чрезмерное увеличение 5 до порядка числа испытаний необходимого для проведения классической процедуры с теми же параметрами, может привести к нивелированию эффективности последовательной процедуры но сравнению с классической. В самом деле, при этом может сказываться неблагоприятный эффект группировки, состоящий в том, что испытания без нее могли бы окончиться в начале группы, а мы вынуждены принимать окончательное решение лишь по ее окончании. Более того, само это решение в случае двойного пересечения порога может приводить к дополнительным ошибкам. Для случая близких гипотез указанные отрицательные эффекты маловероятны и рекомендации о порядке 5 слагаемых в группе сводятся к тому, чтобы было меньшего порядка, чем порядок

равный (см. 1.5.4). В случае бинарного распределения рекомендация выглядит более определенно (см. гл. 2 п. 2.3.6).