1.8.3. Прямой вывод распределения Вальда. Связь с теорией случайных блужданий.

Рассмотрение материала этой главы показывает, что математический аппарат последовательного анализа существенно усложняется, начиная с вычисления дисперсии, а затем функции распределения числа испытаний. Это связано с использованием фундаментального тождества Вальда (1.40), вывод которого является сложным. Другой подход для решения тех же задач связан с аппаратом дифференциальных уравнений, описывающих процессы случайных блужданий (см. далее). Оба эти метода приводят к сравнительно простым результатам для случая несимметричных порогов и близких гипотез. Однако в этом случае можно получить дисперсию и распределение числа испытаний прямыми элементарными методами, с чего мы и начнем изложение.

Рассмотрим простейший случай дискретной случайной величины принимающей значение 1 с вероятностью и с вероятностью Такую случайную величину будем называть бинарной и обозначать

Среднее и дисперсия соответственно равны

Рассмотрим сумму независимых одинаково с распределенных случайных величин

Зафиксируем число слагаемых Тогда вероятность того, что имеет вид

Вероятность называется биноминальным распределением или распределением Бернулли.

Зафиксируем значение суммы Легко показать, что вероятность первого равенства при числе слагаемых (здесь число слагаемых — случайная величина), имеет вид

Вероятность называется распределением Паскаля [7]. Используя формулу отрицательного бинома, можно получить производящую функцию распределения Паскаля 00

Дифференцируя (1.151), будем иметь

Из соотношений (1.147) и (1.152) получим

Рассмотрим теперь асимптотический случай (для этого достаточно чтобы или Пусть столь велико, что при имеет место нормальное приближение для распределения Бернулли (1.149)

Тогда из соотношений (1.150) и (1.154) будем иметь

Преобразуем правую часть соотношения (1,155), используя обозначения

После несложных преобразований будем иметь

Из (1.157) следует, что функция распределений случайной величины V

Полученный результат можно использовать для дальнейших обобщений. В самом деле, как и при доказательстве универсальности распределения Вальда, сгруппируем слагаемые суммы (1.148) в группы по 5 слагаемых.

В рассматриваемом асимптотическом случае можно считать Тогда (1.148) представляется в виде суммы асимптотически -нормально распределенных случайных величин (см. (1.154)).

Рассмотрим одинаково распределенные случайные величины с конечными средним и дисперсией и с произвольным распределением. Соответствующим сдвигом и нормирующим множителем можно преобразовать случайные величины в случайные величины с Тогда в силу центральной предельной теоремы сумма, состоящая из 5 слагаемых асимптотически нормальна. Отсюда следует, что в рассматриваемом асимптотическом случае имеет место распределение Вальда и (1.158)] для случайной величины широких допущениях, относительно случайных величин При этих же широких допущениях оказываются справедливыми соотношения (1.153) для среднего и дисперсии

Связанные с выводом указанных соотношений математические тонкости полностью освещены в § 1.5.4 и в приложении 1.

Для применения полученных результатов к задаче выбора между двумя близкими гипотезами в случае несимметричных ниц необходимо для случая положить

При вместо случайной величины нужно рассматри вать случайную величину и положить

Полученные результаты можно интерпретировать как случайные блуждания частицы на целочисленной плоскости К такой интерпретации мы вернемся далее в п. 2.3.6.

В теории случайных блужданий [4, 7] обычно рассматривается случайная величина

со средним и дисперсией соответственно

интерпретируемая случайным смещением частицы за время При этом число слагаемых суммы (1.348) интерпретируется числом моментов времени от до разделенных интервалом а величина суммы (1.148), умноженная на величиной смещения частицы за время

Пусть означает вероятность смещения частицы на величину х за время Тогда легко получить следующее конечноразностное уравнение:

Используя формулу Тейлора, в левой части уравнения (1.160), ограничиваясь одним членом, а в правой части — двумя, будем иметь после несложных преобразований

Деля обе части соотношения (1.161) на и предполагая существование пределов (см.

и

получаем в пределе при так называемое уравнение диффузии [4, 7]

относительно плотности вероятности распределение Вальда находится в виде решения уравнения (1.162) при граничных условиях обращения решения в нуль на границе, параллельной оси

В § 3.7 методы теории случайных блужданий используются в более сложных ситуациях последовательного анализа.