§ 1.8. МНОГОМЕРНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ЗАДАЧИ ВЫБОРА МЕЖДУ ДВУМЯ ГИПОТЕЗАМИ. СВЯЗЬ С ТЕОРИЕЙ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ

1.8.1. Особенности перехода к многомерным распределениям.

До сих пор рассматривался выбор между двумя гипотезами о значениях параметра а плотности одномерной случайной величины При этом и значения параметра а и значения случайной величины х принадлежали действительной прямой

В более общем случае можно ставить задачу о выборе между двумя гипотезами о значениях -мерного параметрам — плотности -мерной случайной величины При этом значения параметра а принадлежат -мерному эвклидову пространству а значения случайной величины принадлежат -мерному эвклидову пространству [41]. В общем случае

Как и в одномерном случае, истинное значение параметра а не должно обязательно совпадать с гипотетическими значениями Таким образом, нами был рассмотрен одномерный случай многомерной задачи, когда

Одна из важнейших положительных особенностей задачи оптимального выбора между двумя гипотезами состоит в следующем. Переход одномерных случайных величин I к многомерным и от а к а не меняет существенно одномерного решения, основанного на рассмотрениях одномерной случайной величины

В самом деле, последняя всегда остается одномерной, вне зависимости от размерности Поэтому обобщения результатов одномерного случая на многомерный случай являются не принципиальными и сводятся по сути дела к многомерной интерпретации сравнительно небольшого числа основных параметров задачи. Смысл основной случайной величины логарифма элементарного коэффициента правдоподобия в многомерном случае нами уже прокомментирован. Это сразу переносит все результаты § 1.2, 1.3, 1.4 на многомерный случай.

Далее, использовав формулу Тейлора в многомерном случае (см. приложение 1), получим основные соотношения для и в случае близких гипотез, обобщающие соотношения (1.55), (1.56) и (1.57)

(см. скан)

Здесь кроме того, обязательна положительная определенность квадратичной формы в (1.144), так как всегда

Из соотношений (1.144) и (1.145) при следуют известные соотношения (1.66), впервые с многомерной интерпретацией приведенные в [38]. Все результаты § 1.5, 1.6 и 1.7 переносятся на многомерный случай с той лишь внешней разницей, что вместо распадающихся на множители выражений типа необходимо оперировать квадратичными формами как в соотношении (1.144), при этом рассмотрения в окрестностях значений делаются менее прозрачными, чем в одномерном случае (см. (1.143) и (1.55)). Существенные затруднения при переходе к многомерному случаю может вызвать лишь эффективное решение задачи оптимальной дискретизации (см. гл. 2 § 2.2), которое и в одномерном случае встречается с большими аналитическими трудностями.

Если параметр а остается одномерным а случайная величина многомерна (такие ситуации наиболее характерны в теории обнаружения сигналов на фоне шумов см. гл. 4), то, за исключением § 2.2, перенос результатов со случая одномерной на многомерную 5 сводится к замене в плотности одномерного аргумента х на -мерный аргумент х и интегрирования не по а по Оптимальная дискретизация в этом случае сведется к оптимальному (в смысле гл. 2 § 2.2) разбиению на несколько непересекающихся областей, что существенно усложняет задачу по сравнению с одномерной.

Трудности задачи оптимальной дискретизации того же типа, что и трудности дискретизации любых сложно «упорядочиваемых» случайных величин. Дело в том, что задача оптимальной дискретизации по сути дела является задачей оптимальной группировки значений, в отличие от группировки по времени (см. п. 1.7.2), любой случайной величины, в том числе и дискретной.

В связи с этим устоявшийся термин дискретизация не совсем удачен. Однако задачи оптимальной группировки значений дискретных величин, как и многомерных непрерывных, аналитически сложны, так как их трудно

свести к экстремальным задачам. Поэтому такие задачи здесь не рассматриваются.

1.8.2. Вопросы параметризации.

Следует прокомментировать вопрос о параметризации в смысле выбора обозначений для гипотетических значений параметра и связанной с этим несимметрии формул по отношению к гипотезам Этот вопрос важен и для одномерного случая. В самом деле, вне зависимости от обозначений, логарифм коэффициента правдоподобия является несимметричнои функцией относительно входящих в него плотностей при двух гипотезах Если поменять плотности местами, то меняет знак.

В одномерном случае мы различали гипотезы по величине гипотетических значений параметров и плотность с меньшим значением ставили в знаменатель коэффициента правдоподобия. В многомерном случае условно можно обозначить через любое из двух гипотетических значений параметра и ставить в знаменатель коэффициента правдоподобия соответствующую плотность. При этом Вальдом [1] было показано, что всегда имеет место соотношение

и это соотношение связано не с величиной значений а с несимметричной структурой выражений относительно входящих в них плотностей

Если не учитывать возможности несовпадения истинного значения параметра а с гипотетическими т. е. иметь дело лишь с плотностями то естественны более простые обозначения говорящие просто о том, что имеются две различные плотности [11].

Несмотря на очевидную вырожденность такой постановки задачи по сравнению с рассмотренной, такие обозначения создают ложную иллюзию о непараметрической постановке задачи. Впрочем эти иллюзии быстро развеиваются, когда выясняется, что приведенная

постановка не учитывает возможности несовпадения одной из гипотез с истиной. Попытки же качественного описания класса возможных плотностей приводят к ряду трудностей. Принятое здесь параметрическое описание этого класса оказывается более удобным, тем более, что оно имеет место в рассматриваемых далее практических постановках задач. В теории обнаружения сигналов на фоне шумов параметр а играет роль по разному нормированного отношения сигнал/шум (см. гл. 4). Гипотеза связана с отсутствием сигнала, а гипотеза присутствием сигнала. Обыкновенно и при некоторых нормировках при других

Вообще говоря, в произвольном выборе величины значений было принято соотношение из указанных выше соображений.