§ II.4. ЯВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ ЗАДАЧИ

Результаты предыдущего параграфа показывают, что при больших (а это как раз имеет место на практике) можно сделать среднее число занятых ячеек памяти в стационарном режиме порядка . В самом деле, для этого

достаточно подобрать первичный порог так, чтобы (см. 11.27)

При этом распределение вырождается в соответствующее -распределение и вероятность переполнения памяти делается при сколь угодно близкой к нулю при В дальнейшем предполагается, что и достаточно велико, чтобы считать вероятность переполнения памяти к. у. практически равной нулю.

На практике чаще всего имеет место случай (зона "сигнальных" элементов очень мала по сравнению с зоной "шумовых" элементов фазового пространства). Поэтому соотношение (11.43) переходит в приближенное соотношение

где

Перейдем к анализу соотношения (11.11). Из-за того, что должно быть согласно (11.44) достаточно малым. Отсюда следует, что должно быть достаточно большим. Если отношение сигнал/шум а мало (что является практически наиболее интересным случаем), то оказывается тоже алым. Но тогда геометрическое распределение (11.10) хорошо аппроксимируется экспоненциальной плотностью

со средним значением

Свертка (11.11) экспоненциального распределения с распределением Вальда не приводит к известным

табулированным функциям, поэтому приходится ограничиться расчетом среднего значения композиции (11.11)

Теперь можно записать соотношения, связывающие параметры задачи в форме:

являются функциями при фиксированной плотности (см. гл. 1).

Прежде чем переходить к численным расчетам, основанным на соотношениях (11.48), необходимо указать на одну возможность повышения эффективности работы к. у. при отказе от постоянства первичного порога В самом деле, при практически наиболее интересных случаях малого отношения и малого отношения сигнал/шум должны быть порядка Поэтому задержка в выдаче правильных данных определяется в основном первым членом правой части соотношения (11.47), имеющего порядок т. е. зависит в основном от относительной величины объема памяти к. у.

Это обстоятельство является характерным для рассматриваемой задачи. Поэтому естественно использовать переходный режим

загрузки памяти, который может иметь в ряде случаев длительный период (см. предыдущий параграф). Для того чтобы быстрее происходило установление, необходимо первичный порог сделать монотонно возрастающей функцией номера просмотра Это приводит к рассмотрению соотношения с заданными и искомым откуда получаются интегральные уравнения типа свертки. Аналитические трудности, связанные с такого рода рассмотрениями, до сих пор не преодолены.

Перейдем теперь к получению расчетных формул, отправляясь от системы соотношений (11.48). Для этого необходимо конкретизировать распределение Рассмотрим два варианта релеевский и нормальный. Как уже отмечалось (§ 2.3), эти распределения охватывают широкий класс распределений постоянных и флюктуирующих сигналов. Обработка данных из фиксированного элемента после вызова из него (превышение первичного порога может состоять в накоплении непрерывных величин в соответствии с оптимальными процедурами, рассмотренными в гл. 1. Однако специфика машин дискретного счета делает предпочтительной оптимальную бинарную дискретизацию поступающих данных, тем более, что это не вызывает больших потерь в числе наблюдений (см. п. 2.24). Поэтому целесообразно проводить оптимальную бинарную дискретизацию данных с соответствующими вторичными порогами дискретизации для релеевского распределения и для нормального распределения).

Итак, приступим к выводу расчетных формул для случая оптимальной бинарной дискретизации релеевского и нормального распределений, когда

В самом деле, на основании соотношений между параметрами задачи (11.48) можно рассчитывать одни параметры при задании других. Ниже приводятся соответствующие расчетные формулы. Предварительно приведем сводку основных параметров: число элементов фазового пространства;

М — число элементов памяти а — отношение сигнал/шум (параметр плотности напряжения х в элементе фазового пространства); вероятность превышения первичного порога в шумовом элементе; аналогичная вероятность в сигнальном элементе; вероятности ложных тревог и правильных обнаружений выборок; число выборочных значений для достижения заданных при фиксированном а в классическом случае; средние числа выборочных значений для достижения того же эффекта в случае последовательного анализа сигнальной и шумовой выборки соответственно; вероятности превышения вторичного порога бинарной дискретизации соответственно в шумовом и сигнальном элементах.

Между этими параметрами имеют место следующие соотношения:

или в логарифмической форме

соответственно (рис. II.3).

При малых т. е. больших

или в логарифмической форме

(рис. II.4 и II.5 соответственно).

Рис. II.3. Зависимости параметров

Первичный порог при этом в обоих случаях равен

определяются по следующим соотношениям в случае оптимальной бинарной дискретизации для релеевского случая (при и нормального случая (при

(кликните для просмотра скана)

или в логарифмической форме

где

соответственно для релеевского и нормального случаев (гл. 2, § 2.3).

Вторичный порог квантования имеет вид

соответственно для релеевского и нормального случаев.

Если задано отношение сигнал/шум а, то по нему можно определить соответствующее значение по формуле

соответственно для релеевского и нормального случаев.

На рис. II.6 изображены кривые зависимости и (11.56), обусловленной соотношениями (11.57) и (11.58), от а, при этом для единообразия нормальном и в релеевском случаях положено Тогда

соответственно для релеевского и нормального случаев.

Рис. II.6. (см. скан) Зависимости параметров (релеевское и нормальное распределения).

Заметим, что выбор релеевской и нормальной плотностей дает возможность охватить случаи распределения огибающей флюктуирующего и нефлюктуирующего сигналов слабой интенсивности (распределение Райса при этом переходит в распределение Релея), а также нефлюктуирующего сигнала большой интенсивности (распределение Райса при этом переходит в нормальное распределение).

Пример 1. Пусть число элементов фазового пространства и мы располагаем элементами памяти в числе Необходимо осуществить различение сигнальных выборок от шумовых с вероятностями при отношении сигнал/шум в случае релеевского распределения напряжений действуя методом последовательного анализа. Необходимо определить величину первичного порога и задержку выдачи правильных обнаружений.

Решение. Прежде всего на рис. II.6 находим по (релеевская шкала), значения

Затем по находим на рис. 11.3 значение Далее по на рис. II.4 находим, что соответствующая средняя первичная задержка при равна т. е. общая средняя задержка выдачи правильного обнаружения равна Имея получаем для первичного порога

Пример 2. Какой объем памяти необходим для того, чтобы средняя задержка правильного обнаружения, проводимого классическим методом, не превосходила 200 выборочных значений при Производится обзор элементов фазового пространства, распределение напряжений в элементах которого нормально.

Решение. На рис. 11.6 находим по (нормальная шкала) значения Отсюда используя условия задачи, находим, что средняя первичная за держка может быть равной

Используя ее значение и значение на рис. II.5, находим соответствующее значение Далее на рис. II.3 по находим значение откуда

В заключение отметим, что из соотношения (11.44) следует оценка выигрыша в объеме памяти к. у. при применении последовательного анализа по сравнению с объемом памяти с классическим

анализом. В самом деле, при одних и тех же из имеем

т. е. выигрыш в объеме памяти пропорционален выигрышу в числе наблюдений.