§ 3.7 МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ, РОДСТВЕННЫЕ СЛОЖНЫМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ ПРОЦЕДУРАМ

3.7.1. Как было отмечено в § 1.9, процессы одномерных случайных блужданий броуновских частиц между поглощающими границами эквивалентны процедурам последовательного двухальтернативного выбора.

Аналогичным способом можно представить многомерные процессы случайных блужданий, соответствующие сложным последовательным процедурам анализа нескольких совокупностей.

Так же как и в одномерном случае, могут быть рассмотрены модели с дискретным и непрерывным временем.

3.7.2. Рассмотрим схему дискретного времени.

Мгновенное значение координаты частицы на шаге представляется в виде

где с вероятностями соответственно. Пусть и вероятность окончания процесса блужданий на шаге при начальных значениях и поглощающих границах, описываемых гиперповерхностями в -мерном пространстве.

Учитывая возможные смещения после первого шага, имеем уравнение в конечных разностях для функции

где с вероятностями соответственно, и суммирование производится по всем комбинациям произведений Для значения

Сложность уравнения (3.27) быстро возрастает с числом измерений.

Так, при правая часть содержит четыре компоненты, при восемь компонент и т. д.

Решение уравнений (3.27) может быть получено с помощью производящих функций путем умножения обеих частей уравнения на и суммирования по что дает уравнение в конечных разностях с неизвестным. Например, в случае двух измерений для производящей функции получается уравнение

3.7.3. Поведение частиц в схеме с непрерывным временем описывается уравнением, представляющим обобщение (1.160)

где

Граничные условия (3.29) определяются для последовательных процедур в зависимости от выбранных критериев окончания процедуры.

Плотность вероятности момента достижения поглощающих границ определяется соотношением, аналогичным (1.162),

где — область -мерного пространства, ограниченная поглощающими границами.

(кликните для просмотра скана)

Решение (3.29) при произвольных граничных и начальных условиях может быть получено различными численными способами, например методом статистических испытаний (см., например, [14]).

Рассмотрим примеры выбора критериев для многоканальной последовательной процедуры и соответствующие граничные условия уравнений типа (3.29).

а) Процедура заключается в выборе одной из гипотез либо сигнал имеется в одном из каналов, либо сигнал отсутствует.

Данная постановка двухпороговой процедуры приводит к критерию - либо выход за верхний порог хотя бы в одном из каналов, либо одновременно наблюдаемый выход на нижние пороги во всех каналах.

Расположение поглощающих границ для -мерного случая здесь определяется условиями:

или

Форма границ в двумерном случае показана на рис. 3.1.

б) Процедура заключается в проверке гипотез о возможном появлении сигналов во всех каналах.

Критерий окончания — выход за верхний (либо за нижний) порог напряжения во всех каналах.

Расположение поглощающих границ определяется условием

Форма границ в двумерном случае показана на рис. 3.2.