§ 4.6. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ МНОГОКАНАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ С ИГНОРИРОВАНИЕМ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ

4.6.1. При игнорировании разрешающей способности (обнаружение сигнала без указания номера канала, где сигнал находится) алгоритмы обнаружения могут быть построены с помощью составления безусловного коэффициента правдоподобия.

Такая постановка задачи позволяет получить предельные соотношения, которые могут быть использованы для оценки эффективности подоптимальных процедур.

Пусть вероятность нахождения сигала в канале в начале процедуры; матрица вероятностей перехода, не зависящая от номера шага. условная вероятность реализации совокупности напряжений на шаге при нахождении сигнала в канале; матрица напряжений, наблюдаемых за шагов

Вероятность реализации матрицы за шагов при любых значениях вероятностей определится соотношением

Безусловный коэффициент правдоподобия определится соотношением

где парциальный коэффициент правдоподобия, вычисленный на шаге в предположении, что сигнал может находиться в канале.

Процедура (4.80) является в общем случае весьма громоздкой и мало пригодна для получения обозримых результатов, в силу чего является целесообразным рассмотрение частных случаев, представляющих интерес для практики.

4.6.2. Процедура обнаружения при случайном равновероятном переходе сигнала из канала в канал, когда вероятности перехода сигнала из канала в канал одинаковы, элементы матрицы вероятностей перехода равны величине

Как легко понять, увеличение затрат на обнаружение по сравнению с одноканальным случаем при указанном условии будет наибольшим.

Используя (4.80), получаем соотношение для коэффициента правдоподобия

Определим среднюю длительность процедуры обнаружения (4.81) при отсутствии сигнала

Согласно лемме Вальда

Обозначив получим

при

Средняя длительность процедуры в присутствии сигнала может быть определена аналогичным образом

4.6.3. Процедура обнаружения в случае стационарного положения сигнала. При стационарном

положений сигнала в одном из каналов матрица вероятностей перехода вырождается в единичную

Соотношение для коэффициента правдоподобия при может быть представлено в виде

Функциональная схема оптимальной процедуры, построенная в соответствии с (4.86), представлена на рис. 4.7.

В отличие от случаев простого двухальтернативного обнаружения, рассмотренных в § 3.1 и в разд. 33.3), формула (4.87) для вычисления коэффициента правдоподобия в системе игнорированием разрешающей способности не может быть представлена в виде произведения элементарных коэффициентов, что не позволяет вычислить среднюю длительность процедуры путем применения леммы Вальда.

Рис. 4.7. Оптимальная схема многоканального приема.

В рассматриваемом случае для расчетов показателей процедуры могут быть использованы приближенные соотношения.

Например, для вычисления показателей процедуры в присутствии сигнала достаточно большой интенсивности можно считать, что основной вклад в (4.86) вносится каналом, в котором находится сигнал, т. е.

Используя (4.86) и (4.87), получаем

где

Средняя длительность испытаний, так же как и (4.85), изменяется в функции числа каналов по линейно-логарифмическому закону.

Точный расчет средней длительности испытаний в отсутствие сигнала оказывается сложным.

Учитывая линейно логарифмический характер соотношений (4.85) и (4.89) представляем зависимость длительности процедуры от числа каналов в виде

где неопределенный коэффициент.

Соотношение (4.90) проверялось экспериментальным методом вычисления на электронной цифровой вычислительной машине (ЭЦВМ).

Некоторые результаты, полученные при вычислении на ЭЦВМ, приведены в гл. 6.