1.5.4. Универсальный характер распределения Вальда в случае близких гипотез и несимметричных порогов.

А. Вальд предвидел универсальный характер распределения (1.42), основываясь на следующих соображениях [1, стр. 245]. Приводим их дословно, используя принятые нами обозначения.

"Если и достаточно малы по сравнению с то распределение определенное выражением (1.42), будет хорошим приближением для точного распределения величины даже если С распределена не по нормальному закону. Причину этого можно объяснить следующим образом. Пусть

где является заданным положительным целым числом. Так как являются независимыми случайными величинами, распределенными по одному и тому же закону, то при некоторых достаточно слабых ограничениях и больших значениях 5 величины будут иметь распределение, близкое к нормальному».

Основным препятствием к реализации изложенной выше идеи доказательства универсальности распределения (1.42) является неопределенность числа слагаемых в сумме

из-за случайного характера Поэтому нет смысла говорить об асимптотической нормальности в силу центральной предельной теоремы, так как может оказаться, что и вообще в (1.91) не будет слагаемых При указанных Вальдом условиях малости по сравнению с такие случаи будут маловероятны, т. е. с большой вероятностью в конкретном последовательном эксперименте можно ожидать, что произойдет нормализация и распределение (1.42) будет иметь универсальный характер. Но чтобы высказать такое, единственно возможное в данной ситуации, вероятностное суждение, необходимо оценить вероятность того, что а это суждение требует знания искомого распределения. В результате получается порочный логический круг.

Выходом из него явился бы некоторый косвенный способ оценки распределения Таким способом оценки оказывается неравенство Чебышева, использующее причем использование для этих целей одного не приводит к цели. Наконец, необходимо обоснование возможности пренебрежения второй суммой правой части соотношения (1.91).

Ниже приводится общий план доказательства универсальности распределения Вальда для случая близких гипотез и несимметричных порогов [77]. Доказательство этого факта со всеми деталями воспроизводится в приложении

В самом деле, пусть удовлетворяет условиям, при которых были выведены соотношения (1.55), (1.56) и (1.57), тогда из них следует, что при случайные величины асимптотически нормальны так как "ляпуновские" отношения

Теперь наша цель состоит в подборе такой случайной величины с нормальной плотностью с неизвестным средним а и известной дисперсией для которой последовательная процедура выбора между двумя гипотезами

и

приводила бы к логарифму элементарного коэффициента правдоподобия

одинаково распределенному с

Легко видеть, что для этого достаточно положить

В самом деле, по определению случайная величина такова, что

откуда

Используя соотношения (1.92), (1.93) и (1.94), заключаем, что К нормально т. е. распределено одинаково с

Следует заметить, что если бы не случай близких гипотез, то дисперсия о оказалась бы, вообще говоря, зависящей от неизвестного параметра а (см. (1.93)), и наши построения не прошли бы.

Итак, первая сумма в соотношении (1.91) одинаково распределена с логарифмом коэффициента правдоподобия для выбора между гипотезами

где и распределены так же, как

До сих пор мы не определяли порядка стремления к бесконечности Определим теперь его так, чтобы в некотором вероятностном смысле можно было пренебречь второй суммой соотношения (1.91).

Для этого прежде всего необходимо сделать вероятностное заключение о порядке роста Используя неравенство Чебышева и соотношения (1.88) и (1.89), легко показать (см. приложение I,

лемма, 4), что с вероятностью, большей чем порядок

Пусть теперь порядок где — произвольно малое положительное число, меньшее единицы. Тогда среднее и дисперсия первой суммы в соотношении (1.91) имеет порядок в то время как порядок среднего и дисперсии второй суммы соотношения (1 91) не превосходит

т. е. они меньшего порядка, чем среднее и дисперсия первой суммы.

В этом случае, снова используя неравенство Чебышева, можно показать (см. приложение 1, лемма 3), что асимптотически при распределение совпадает с распределением первой суммы в соотношении (1.91). Но последняя распределена так же, как случайная величина определяемая соотношением (1.95). Если теперь задать одни и те же приводящие к одним и тем же порогам при выборе между гипотезами то последовательные процедуры из-за одинаковой распределенности в обоих случаях будут стохастически неразличимыми. Отсюда следует одинаковая распределенность имеет распределение, аппроксимируемые распределением Вальда (1.42). Отсюда следует, что и распределение — аппроксимируется тем же распределением. Так как эта аппроксимация инвариантна относительно умножения случайной величины на константы (инвариантны аргумент у и параметр с распределения см. (1.43)), то имеет ту же аппроксимацию, что и Остается отметить, что проведенное доказательство универсальности распределения Вальда имеет силу лишь при (Дчто имеет место лишь с вероятностью, большей, чем Поэтому, чтобы в подавляющем числе последовательных процедур мы имели право надежно пользоваться аппроксимацией Вальда для распределения числа испытаний, К должно быть велико. Но это как раз имеет место в практически интересных случаях малых а или (они должны быть, кроме того, разного порядка малости — случай несимметричных порогов см. (1.90)).

Заметим, что порядок меньше, чем порядок и порядок числа испытаний в классической процедуре равный (см. (1.67)). Это обеспечивает сохранение эффективности последовательной процедуры по сравнению с классической (см. § 1.6), при группировке испытаний по 5 в группе (см. п. 1.7.2). Таким образом, и в указанном выше смысле

приведенное доказательство универсальности распределения Вальда не связано с тривиальными вырождениями последовательной процедуры, нивелирующими ее превосходство над классической.