1.8.4. Заключительные замечания и обсуждение результатов.

В этой главе рассматривался простейший случай выборки, выборочные значения которой являются независимыми значениями одной и той же случайной величины.

С такой статистической схемой согласуются многие задачи приложений, где в качестве нулевой гипотезы фигурирует гипотеза о наличии только так называемого «белого» шума.

Более того, если гипотеза связанная с наличием сигнала и шума, приводит к зависимым выборкам, то, по крайней мере, для случая близких гипотез можно считать и при выборочные значения почти независимыми. Точное математическое обоснование этого факта требует дополнительных рассмотрений.

Если гипотеза связана с независимо флюктуирующим сигналом, то использование схемы независимых выборов не вызывает сомнений.

Все предыдущие рассмотрения касались выбора между двумя простыми гипотезами [1] о значениях параметра в фиксированных точках соответственно. При этом истинное значение параметра а могло не совпадать ни с одним из гипотетических.

Такого рода постановка задачи выбора между двумя гипотезами оправдана следующими практическими соображениями.

Истинное значение параметра а нам неизвестно (назначается природой). Гипотетические значения параметра назначаются нами по своему усмотрению. При этом гипотетические значения параметра приводят к тем более оптимальным результатам (см. 1.2.4), чем они ближе к двум истинным значениям параметра, которые соответствуют гипотезам Для задач обнаружения сигналов на фоне шумов, когда параметр а соответствует отношению сигнал/шум, важнейшим обстоятельством оказывается возможность безошибочного назначения при нулевой гипотезе (наличие одного шума). Таким образом, некоторый произвол здесь связан лишь с назначением гипотетического значения параметра при гипотезе (наличие сигнала и шума).

Прокомментируем результаты первой главы. Прежде всего следует указать, что эти результаты связаны со спецификой новых приложений последовательного анализа в теории обнаружения сигналов при наличии шумов. Эта специфика требовала развития последовательного анализа в некоторых новых направлениях:

1. Развитие последовательного анализа для случая близких гипотез (чему соответствует теория обнаружения слабого сигнала на фоне шума) (§ 1.5).

2. Важным оказалось исследование случая существенной неравноценности ошибок первого и второго

рода (принятие шума за сигнал и шум и сигнала и шума за один шум) (§ 1.4).

3. Практическое использование последовательного анализа требовало исследования дисперсии и распределения случайного числа испытаний, которые до недавнего времени считались «ахиллесовой пятой» метода [27, 31] (см. 1.5.3).

4. Оказался необходимым повсеместный учет практической невозможности совпадения истинных значений проверяемого параметра с его гипотетическими значениями (например, для гипотезы и в связи с этим оказались важными исследования в «окрестностях» гипотетических значений параметров (§ 1.5).

Рассмотрение случаев близких гипотез и неравноценных ошибок первого и второго рода привело к существенному упрощению громоздких соотношений (§ 1.4) и более общему обобщению ранее известных частных результатов (например, установление универсального характера распределения Вальда, § 1.5).

Основным практическим результатом следует считать установление теоретически неограниченной эффективности последовательного анализа по сравнению с классическим (§ 1.6). Это обстоятельство совсем несложно вывести из известных соотношений для числа испытаний в классической и его среднего в последовательной процедурах.

Свойство неограниченной эффективности последовательного анализа в указанных случаях выглядит гораздо заманчивее традиционной половинной экономии числа наблюдений, при равноценных ошибках (см. § 1.6). Это свойство последовательного анализа было обнаружено в самом начале исследований авторов [36] и послужило основным стимулом их продолжения.