1.5.2. Связь основных параметров для случая близких гипотез (классическая процедура).

Основными для случая близких гипотез являются следующие соотношения [77]:

где

Интегралы

и

должны существовать. Частные производные поадо 3-го порядка включительно предполагаются

непрерывными. В приложении 1 приводится строгий подробный вывод соотношений (1.55), (1.56) и (1.57).

Ниже излагается упрощенная идея этого вывода. Имеем

(см. скан)

Умножая (1.60), (1.61) и (1.62) на (1.59), будем иметь соответственно

(см. скан)

Учитывая, что

и

и интегрируя обе части выражений (1.63) по в пределах от до будем иметь

Откуда легко следуют соотношения (1.55), (1.56) и (1.57).

Если или (соответственно или то из (1.55) и (1.56) получим известные [6] соотношения

где означает, что

Используя соотношения (1.66) и (1.21), будем иметь при заданных

Подставив соотношения (1.55) и (1.56) в (1.23), получим (при заданных )

Найдем выражение для оперативной характеристики в окрестностях точек . (Соответственно в окрестностях

Имеем из (1.68)

где лежит между

Из (1.69) следует, что в окрестности

Аналогично в окрестности

При из (1.24) имеем

Аналогично при из (1.25) получаем

Используя соотношения (1.66), (1.27) и (1.28), будем иметь при фиксированном (3 и

Аналогично при фиксированном

Соотношения (1.74) и (1.75) показывают, что при фиксации одной из вероятностей ошибок с ростом другая экспоненциально по стремится к нулю с коэффициентом в экспоненте, не зависящим от другой вероятности ошибки. В работе [11] со ссылкой на более ранние работы содержатся соотношения типа (1.74) и (1.75). Более подробные комментарии см. Доп. IV,