2.2.4. Потери от дискретизации.

Пусть производится выбор между двумя гипотезами о значениях параметра а плотности непрерывной случайной величины 5. Интуитивно ясно, что если вместо рассматривать ее дискретные аналоги получающиеся из нее оптимальной дискретизацией с порогами, то при тех же соответствующие числа испытаний или средние числа испытаний в классическом и последовательных случаях будут больше, чем для . Для случая близких гипотез этот факт соответствует следующему соотношению:

где является максимумом выражения определяемого соотношением (2.4) как функции

Соотношения (2.26) можно доказать строго (см. приложение 1, теорема 3). Таким образом, соотношение (2.26) оправдывает интуитивные представления о потерях при дискретизации, так как [см. (1.67), (1.85), (1.86) и (1.87) для близких гипотез]

Величину естественно называть потерей при дискретизации с порогами.

Поделив все значения в цепочке неравенств (2.26) на и вычтя полученные отношения из единицы, получим следующие важные неравенства:

дающие оценку сверху потерь при оптимальной дискретизации по порогам. Оценки служат потери при оптимальной бинарной дискретизации. Таким образом, для эффективной оценки сверху потерь от оптимальной дискретизации достаточно уметь вычислять величину

Сделаем это для плотностей из классов Так как в классе то при

Таким образом, используя выражение (2.12) для будем иметь

В частном случае нормальной плотности имеем

Подставив соотношения (2.31) в (2.30), после несложных преобразований получим

Перейдем к аналогичным рассмотрениям в классе Здесь могут быть получены численные результаты в самом общем случае.

В самом деле, плотность в этом классе имеет

откуда

Далее

Так как монотонно растет с от до то при замене получим

Используя выражение (2.18) для будем иметь значение

близкое к предыдущему. Таким образом, потери от

Дискретизации для Широкого Класса плотностей не пре восходят численно

Этот же результат можно перефразировать так.

Рис. 2.2. (см. скан) Величины (потери от неоптимального выбора порога бинарной дискретизации в зависимости от функции распределения из классов

При оптимальной дискретизации широкого класса плотностей число испытаний (среднее число испытаний в последовательном случае) увеличивается по сравнению с процедурой оптимального выбора между двумя гипотезами без дискретизации не более чем в раза.

Этот результат довольно неожидан, если учесть опасения относительно больших потерь, связанных с грубой,

даже небинарной, дискретизацией. Он придает смелость в осуществлении бинарной дискретизации, если технические выгоды, связанные с ней, компенсируют полуторное увеличение числа наблюдений. Интересно было бы выяснить, как быстро стремится к 1 с ростом . В [33] для нормального распределения вычислены и оптимальные пороги. Вполне правдоподобно, что и для широкого класса распределений уже начиная с практически Однако этот вопрос, как уже отмечалось выше, не выяснен. Величина была найдена ранее в [40] для распределения Райса и в [34] для распределения Релея (подробнее см. § 2.30). На рис. 2.2 приведены кривые потерь при неоптимальной бинарной дискретизации.