§ 1.4. БИНАРНЫЕ СЕРИЙНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ С ОДНОПОРОГОВЫМ КРИТЕРИЕМ

1.4.1. При длительных наблюдениях случайных процессов с сравнительно кратковременными отклонениями от стационарного режима (при одностороннем изменении параметра) могут быть использованы серийные процедуры с однопороговым критерием.

Алгоритм процедуры, как и в случае § 1.2, строится с использованием данных предшествующих шагов. Рассматриваемые процедуры используют только один критерий (1.3). После выбора решения по происходит очищение памяти и в течение следующих I шагов происходит накопление данных.

Процедуры с однопороговыми критериями могут рассматриваться как результат вырождения родственных двупороговых процедур.

В случае бинарного процесса процедура с однопороговым критерием может быть охарактеризована двумя показателями:

а) Функцией распределения длительности процедур, показывающей вероятность выполнения события, соответствующего критерию до шага при значении параметра

Функцию распределения длительности называют нарастающей (кумулятивной) вероятностью

б) Средней длительностью интервалов между событиями, соответствующими выполнения (1.3) (при (ошибочными решениями). Величина как легко видеть, обратно пропорциональна ошибке первого рода.

1.4.2. Рассмотрим соотношения для расчета нарастающих (кумулятивных) вероятностей в случае обнаружения по критериям «хотя бы один раз из (сокращенно «к из

Рекуррентное соотношение имеет вид

где вероятность выполнения критерия из I хотя бы один раз за выборок; та же вероятность за выборок; вероятность выполнения критерия из впервые на выборке.

Приведем примеры применения (1.33) при независимых выборочных данных:

1) Обнаружение по критерию I из

2) Обнаружение по критерию

При

При обнаружении с использованием критерия однократного превышения

В соотношениях обозначает вероятность превышения порогового уровня на выборке

Аналогично (1.34) — (1.37) могут быть рассмотрены и другие примеры использования критерия из

Переход от рекуррентного соотношения (1.33) для к функциональной зависимости производится с помощью решения соответствующего уравнения в конечных разностях.

В случае обнаружения по критерию однократного превышения (1.33) с учетом (1.37) решается непосредственно

или

В стационарном случае однородных выборок, когда представляет собой уравнение в конечных разностях с постоянными коэффициентами, что позволяет при решении использовать разработанные методы (см. [13]).

Например, для обнаружения по критерию из преобразуется к виду

где

Согласно [13] решение (1.39) ищем в виде

Характеристическое уравнение в данном случае имеет вид

Решение (1.40) для произвольных значений может быть получено с помощью приближенных способов.

При малых вероятностях образования комбинации из за выборок используем способ малого параметра и полагаем где

В этом случае получим

В первом приближении

т. е.

Аналогичным способом могут быть получены решения в случаях , (1.35), (1.36).