2.3.6. Дискретные распределения.

До сих пор все рассмотрения велись в основном в терминах непрерывных случайных величин и их плотностей При этом указывалось, что все результаты могут быть переформулированы для дискретных случайных величин если вместо плотности под понимать вероятность того, что принимает свое значение х.

Ниже мы подробнее изучим задачу выбора между двумя гипотезами о величине параметра а вероятностей дискретной случайной величины

принимающей конечное число значений х. с вероятностями соответственно. При этом, как и ранее, истинное значение параметра а может не совпадать ни с одним из гипотетических.

Выборка объема

из генеральной совокупности, соответствующей дискретной случайной величине имеет частоты

где означает число повторений в выборке (2.119) значения

Логарифм коэффициента правдоподобия в этом случае имеет, как легко видеть, два эквивалентных представления

Из них первое представляет в виде суммы значений функций выборочных значений дискретной случайной величины

логарифма элементарного коэффициента правдоподобия, а второе — в виде линейной функции частот выборочных значений Частоты являются реализациями зависимых случайных целочисленных величин которые имеют совместное распределение

Тогда оперативная характеристика классической процедуры записывается следующим образом:

Точное выражение для суммы вероятностей в (2.124) через табулированные функции найдено лишь для бинарного случая (см. ниже).

В общем случае можно найти асимптотическое значение при В самом деле, в нашем случае среднее

и дисперсия

являются конечными величинами, так как С принимает конечное число значений.

Тогда согласно (2.121), рассматривая значения как реализации случайной величины

заключаем, что в нашем случае а также связь между параметрами классической процедуры определяется соотношениями гл. 1, п. 1.3.1. Для случая близких гипотез из (1.66) имеем

Здесь можно получить оценки, аналогичные (1.27) и (1.28)

и

при

Если то для а сохраняется соотношение (2.125), а для имеем

где является порогом классической процедуры выбора между двумя гипотезами, основанной на нормированном логарифме коэффициента правдоподобия (2.121)

Соотношения (1.125), (1.126) и (1.127) можно получить из более общих соотношений, приведенных в [50] без явного выражения для коэффициентов перед они выражаются, как можно показать, через корень трансцендентного уравнения [50, (17)], равный для а и для

В случае близких гипотез связь между параметрами классической процедуры упрощается (см. п. 1.5.2). Для установления этой связи достаточно знания лишь коэффициента который, как уже отмечалось в п. 2.2.2, имеет в нашем случае вид

Легко видеть, то коэффициент связан с рядом характерных выражений, изучавшихся ранее. В самом деле с точностью до имеем

Эти выражения рассматриваются как мера «расстояния» между гипотетическими распределениями [11]. Более подробные комментарии на этот счет даны в доп. IV.

Выражения (2.128) здесь приводятся, так как в ряде случаев одно из них может оказаться предпочтительнее другого (см. ниже).

Последовательная процедура основывается на двухпороговом анализе логарифма коэффициента правдоподобия (2.121) со случайным объемом выборки Здесь, так же как и в классической процедуре, эффективные формулы имеют место лишь для случая близких гипотез § 1.5. При этом снова необходимо лишь вычисление коэффициента

Перейдем теперь к простейшему случаю бинарного дискретного распределения, когда В этом случае

Предполагая однозначную связь между значениями и значениями параметра а, можно принимать за значения параметра само значение и ставить задачу о выборе между гипотезами когда истинное значение может не совпадать ни с ни с

Частоты выборки объема в данном случае имеют вид Поэтому при фиксированном достаточно знания единственной частоты . С

учетом новых обозначений логарифм коэффициента правдоподобия имеет вид

где в первом представлении равно 1, если и нулю, если а во втором является линейной функцией частоты Последняя есть реализация целочисленной случайной величины имеющей биномиальное распределение:

где истинное значение параметра.

Оперативная характеристика в рассматриваемом случае имеет вид

где

— табулированная неполная бета-функция [101]. В соответствии с (2.132)

Соотношения (2.134) заключают в себе точную связь между параметрами задачи

При больших когда биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным оперативная характеристика классической процедуры имеет вид

Откуда

В случае близких гипотез происходят известные упрощения приведенных соотношений, в частности, неравенства (2.139) обращаются в приближенные равенства. Заметим, что в рассматриваемом случае

Рассмотрим последовательную процедуру решения той же задачи.

Последовательная процедура основывается на двухпороговом анализе логарифма коэффициента правдоподобия (2.130) со случайным объемом выборки

Вместо непосредственного последовательного анализа величины с постоянными нижним и верхним порогами, удобно анализировать частоту

с линейно зависящими от нижним и верхним порогами соответственно, где

Нетрудно показать [52], что Приведенный вариант последовательной процедуры удобен как для теоретического анализа, так и для геометрических интерпретаций в связи со случайными блужданиями (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Последовательная процедура с линейно зависящими от порогами (бинарный случай).

В связи с машинным осуществлением последовательных процедур в последнее время практикуется «весовой» вариант той же процедуры [53] (доп. II, § II.6).

Для его описания удобно первое представление (2.130). Простыми арифметическими преобразованиями вместо постоянных порогов (вычитая из них и деля

на можно перейти к процедуре с постоянными порогами и

Соответственно вместо анализируется величина

первый постоянный член которой интерпретируется как начальный вес процедуры, а множители, стоящие перед первой и второй суммами — как веса добавляемые при каждом последующем появлении соответственно.

Параметры всех трех рассмотренных вариантов последовательной процедуры для бинарной дискретной величины связаны одними и теми же соотношениями.

Параметр для определения оперативной характеристики должен определяться из уравнения

Однако вместо него для численного расчета удобнее выражать соответствующие как функции параметра

После определения соответствующих А, меняющемуся от до пары соответствующие — можно получить с помощью простых соотношений [1]

В рассматриваемом случае

Среднее число испытаний вычисляется по формуле

где откуда

При

когда знаменатель (2.145) обращается в нуль, легко показать [1], используя (1.36), что

так как в рассматриваемом случае

В случае несимметричных порогов

и параметр распределения Вальда при имеет вид

где

Для случая близких гипотез происходит очевидное упрощение приведенных формул с учетом соотношения

Эти простые формулы следуют из (1.66) при подстановке в них

Непосредственно для бинарного случая эти формулы приведены в [40, 34].

В заключение остановимся на вопросе группировки наблюдений в последовательной процедуре при выборе между двумя гипотезами о параметре бинарной случайной величины.

В [1] показано, что эффективность последовательного анализа по сравнению с классическим (см. п. 1.7.2) не уменьшится, если проводить испытания по группам, не превосходящим по объему величины, обратной коэффициенту наклона в (2.140), т. е. при

При группировке в группы по выборочных значений коэффициенты и остаются постоянными, а угловой коэффициент группированной процедуры

В связи с этим возникает задача выбора между двумя гипотезами о величине параметра распределения Пуассона

В самом деле, если мало и соответственно еще меньше, то объем группы велик. При этом -величины порядка единицы. Поэтому частоты в группах по 5 наблюдений являются реализациями биномиально распределенной случайной величины Для ее распределения имеем

где

Выборка в этом случае определяется совокупностью частот

Логарифм коэффициента правдоподобия имеет вид

Логарифм элементарного коэффициента правдоподобия равен

Так как

Уравнение (1.30) для определения имеет в данном случае, как легко видеть, следующий вид:

или для параметрического вычисления оперативной характеристики

Вычисление характеристик последовательной процедуры при наличии уже приведенных параметров сводится к арифметическим операциям по известным формулам, и мы не будем их здесь приводить.

Заметим, что в случае близких гипотез, когда оптимальный порог дискретизации в бинарном случае приводит к в силу группировку следует проводить по группам объема так что