ГЛАВА 2. ОПТИМАЛЬНАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
§ 2.1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе (§ 2.2) будут подробно изучены в некотором смысле оптимальные способы перехода от непрерывных случайных величин к их дискретным аналогам
при решении задачи выбора между двумя гипотезами.
Такого рода переход диктуется современным развитием техники дискретного счета на электронных вычислительных машинах.
Основные результаты теории оптимальной дискретизации могут быть получены лишь для случая близких гипотез (см. гл. 1, § 15).
Поэтому здесь существенно используются результаты гл. 1.
В п. 2.2.4 показано, что оптимальный переход к предельно «грубой» бинарной дискретизации реально непрерывных выборочных значений приводит к сравнительно небольшому (в полтора раза) увеличению числа выборочных значений по сравнению с оптимальным выбором между двумя гипотезами, основанном на непрерывной выборке. Этот результат, найденный сначала для частных распределений Райса (40] и Релея [34], обобщается на широкие классы плотностей. Таким образом, даже простейшая бинарная дискретизация, проводимая оптимальным образом (оптимальный выбор порога дискретизации), практически оказывается вполне приемлемой. Этот результат широко используется в последующих главах и в Доп. II.
Далее в § 2.3 общее решение задачи выбора между двумя гипотезами, развитое в гл. 1, проиллюстрировано на примерах плотностей, используемых в следующих главах. Это плотности распределений: нормального (2.3.2), экспоненциального (2.3.3), Релея (2.3.4) и Райса (2.3.5), которые характерны для теории обнаружения сигналов на фоне шумов и других приложений. Используя их специфику, удается не только иллюстрировать общую теорию, но и получать более сильные допредельные результаты.
Все рассмотрения гл. 1 формулировались в терминах непрерывных случайных величин, хотя указывалось, как их можно переформулировать для случая дискретных (см. сноску на стр. 17).
В заключительном пункте 2.3.6 рассматривается задача выбора между двумя гипотезами о значении параметра распределения дискретной и, в частности, простейшей бинарной случайных величин. Последняя в связи с оптимальной дискретизацией, унифицирующая все остальные случайные величины, занимает особое
положение. Поэтому, а также ввиду того, что для бинарной случайной величины удается получить ряд простых соотношений, она изучается наиболее подробно.
