1.5.3. Связь основных параметров для случая близких гипотез (последовательная процедура).

Начнем с вычисления оперативной характеристики последовательной процедуры для случая близких гипотез в окрестности значений параметра Для этого проанализируем поведение корня уравнения (1.30) в этих окрестностях. Если в точности то, как уже отмечалось на стр. 27, легко видеть, что Пусть удовлетворяет условиям, при которых были выведены соотношения (1.55), (1.56) и (1.57). Тогда из соображений непрерывности в окрестностях точек будет существовать корень близкий по величине к значениям 1 и —1 соответственно.

Для его вычисления воспользуемся соотношениями

Перемножим соответственно левые и правые части соотношений (1.76) и (1.77). Тогда

Интегрируя обе части соотношения (1.78) по х в пределах от до с учетом соотношений (1.30), (1.58), (1.64) и (1.65), будем иметь

откуда

Так как в окрестностях то, деля обе части соотношения (1.79) на будем иметь

Пусть как где Тогда из соотношения (1.80) имеем

Пусть тогда

Аналогичные рассмотрения с учетом членов более высоких порядков малости, чем приводят к выражениям в которых учитывается коэффициент Однако здесь мы не будем проводить таких рассмотрений. Более подробный и строгий вывод соотношений (1.81) и (1.82) содержится в приложении

Подставим теперь значение корня (1.81) в выражение для оперативной характеристики последовательной процедуры (1.29). Будем иметь в окрестности

Итак, имеем окончательно в окрестности

Аналогично в окрестности будем иметь

Сравнивая полученные соотношения (1.83) и (1.84) с соотношениями (1.70) и (1.71), видим, что в окрестностях значений оперативные характеристики классической и последовательной процедур имеют одно и то же асимптотическое поведение, несмотря на различные конечные аналитические выражения (1.23) и (1.29).

Используя соотношения (1.83), (1.84) и (1.55), получаем из (1.32) выражения для средних в окрестностях значений соответственно

и

Таким образом, на порядок среднего основное влияние оказывает присутствие в знаменателе, а влиянием несовпадения параметра а с на оперативную характеристику в числителе (1.85) и (1.86) можно пренебречь. В этом случае также не имеет смысла сохранение в знаменателях выражений члена —0,5, равного 0,5, с точностью порядка точности самих формул.

Для значения параметра апри котором используя (1.36) и (1.56), будем иметь

В случае близких гипотез и несимметричных порогов можно привести выражения не только для средних, но и для дисперсий числа испытаний.

Из соотношений (1.85) и (1.86) имеем

Из соотношений (1.53) и (1.54), используя (1.55) и (1.56), имеем

где

Таким образом, в этом важнейшем для приложений случае стандартное отклонение имеет порядок а среднее порядок

Этот факт рассеивает опасения о "большой" дисперсии последовательного анализа 127].

Заметим, что все приближения теории, связанные с пренебрежением возможности "перескока" порогов логарифмом коэффициента правдоподобия все более оправданы в случае близких гипотез, чем меньше