§ 4.7. МНОГОКАНАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ В СИСТЕМАХ С РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТЬЮ

4.7.1. Схема многоканального обнаружения с разрешающей способностью состоит из устройств, выполняющих двухпороговые процедуры сравнения во всех каналах.

Рассматриваемая процедура пригодна как для случая обнаружения сигнала в одном из каналов, так и для случая одновременного обнаружения нескольких сигналов.

Строгое решение задачи нахождения оптимальной двухпороговой статистики в рассматриваемом случае неизвестно.

Могут быть рассмотрены двухпороговые процедуры с фиксированным значением порогов (с учетом либо только однократных, либо многократных пересечений с порогами) и процедуры с переменными порогами.

а) Процедура с однократным пересечением. Процедура состоит в том, что в каналах образуются парциальные коэффициенты правдоподобия, значения которых сравниваются с порогами.

Решение о наличии или отсутствии сигнала в канале принимается по достижении одного из порогов. После достижения одного из порогов процедура в данном канале прекращается до окончания процедуры в остальных каналах.

б) Процедура с многократными пересечениями. В отличие от предыдущего случая процедура обработки прекращается, когда во всех каналах напряжение выходит из «нулевой» зоны.

В этом случае могут иметь место неоднократные пересечения пороговых уровней реализациями напряжения в отдельных каналах (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Ход процедуры с многократными пересечениями.

в) Процедура с переменными порогами. В работе [55] предложено использовать непрямолинейные пороги, построенные так, чтобы за счет трансформации функции распределения длительности уменьшить возрастание длительности процедуры при увеличении числа каналов.

4.7.2. Обнаружение по методу однократных пересечений.

Определим характеристики процедуры, основанной на учете однократных (пересечений при оптимальных процедурах отдельных каналах. Пусть вероятности ложных срабатываний малы Вероятности правильного обнаружения при выбранной процедуре равны соответствующим вероятностям для одноканальных испытаний

Вероятности ложных срабатываний

Средняя длительность процедуры при наличии сигнала равна длительности в одноканальном случае. Понятно, что при условии нормировки вероятности ложных срабатываний характеристики процедуры при наличии сигнала меняются. Средняя длительность процедуры при отсутствии сигнала определяется по соотношению

где плотность вероятности окончания испытательного процесса для -канальной процедуры.

С помощью интегрирования по частям (4.92) может быть представлено через интегральную функцию распределения длительности процесса

где интегральная функция распределения длительности процедуры в -канальной системе.

При наборе -канальной системы из однородных каналов

где -распределение длительности одноканальной процедуры. Используя (4.93) и (4.94), получаем

при 1, когда средняя длительность процедуры определяется пересечением с нижним порогом, функция распределения определяется по (4.69).

Результаты расчетов отнесенные к средней длительности в одноканальном случае, вычисленные численным интегрированием с помощью таблиц (см. приложение 2) и с помощью асимптотического представления (§ 4.4), представлены в табл. 4.2.

Для приближенных оценок (с точностью —10%) может быть использовано «соотношение, получаемое линей-но-ломаной аппроксимацией функции

где соответствующие квантили

Дисперсия длительности процедуры может быть определена по аналогичным соотношениям

или

Нормированная дисперсия при отсутствии сигнала определяется по (4.95)

Таблица 4.2 (см. скан)

Таблица 4.3 (см. скан)

Расчеты нормированной дисперсии приведены в табл. 4.3.

Как следует из данных табл. 4.3, при увеличении числа каналов нормированная дисперсия длительности процедуры уменьшается.

4.7.3. Обнаружение по методу повторных пересечений.

Использование процедуры обнаружения по методу повторных пересечений позволяет в многоканальном случае при несимметричных требованиях к вероятности пропусков сигнала и ложных срабатываний существенно улучшить характеристики процедуры по сравнению с показателями § 4.7.2. Это улучшение выражается в эффекте снижения вероятности пропусков сигнала за счет накопления напряжения в ханале, несущем информацию во время анализа в пустых каналах.

Оценим вероятности ложных срабатываний и пропусков сигнала при обнаружении по методу повторных пересечений.

Пропуск сигнала при использовании метода повторных пересечекий возникает при выполнении двух событий: выход? накопленного напряжения в канале, несущем информацию за нижний порог, и отсутствия повторного пересечения нижнего порога за время анализа в остальных каналах.

Таким образом,

где определяет вероятность выхода накопленного напряжения за нижний порог; вероятность отсутствия повторного пересечения за время испытаний.

Для оценки вероятности отсутствия повторных пересечений за время анализа может быть использовано соотношение

где плотность вероятности окончания процедуры испытаний в системе при отсутствии сигнала (определяется помощью таблиц, приведенных в Приложении V). Вычисление значения помимо расчета по (4.101), может быть проведено методом случайных проб на ЭВЦМ или с помощью функции распределения длительности повторных пересечений, определяемой экспериментальным способом (см. § 6.4).

4.7.4. Вычисление функции методом случайных проб может быть проведено путем сравнения случайных величин и получаемых из двух последовательностей.

Последовательность случайных величин при этом строится непосредственно по экспериментальным данным.

Последовательность случайных чисел может быть получена с помощью функции распределения длительности и таблицы случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (подобный прием широко используется при статистическом моделирован на ЭЦВМ (см. [23, стр. 422]).

Функция трансформирующая последовательность случайных чисел, равномерно распределенных в интервале как нетрудно видеть, представляет обратную функцию т. е.

Равенство (4.102) вытекает из условия преобразования распределения случайных величин

т. е.

или

С помощью преобразования (4.105) по данной последовательности равномерно распределенных величин получаем последовательность случайных величин

Примеры вычисления функции представлены на рис. 6.8.

Соотношение (4.100) может быть использовано для выбора нижнего порога при обнаружении по методу повторных пересечений (следует иметь в виду, что при 1 выбор нижнего порога практически не зависит от требуемой вероятности ложных срабатываний).

Рис. 4.9. Эпюра последовательной процедуры с нелинейным порогом.

Сравнение результатов расчетов длительностей испытаний при оптимальной процедуре обнаружения и процедуре по методу повторных пересечений показывает близость последней к оптимальной процедуре.

Указанное обстоятельство аналогично близости характеристик процедуры обнаружения с отбором наибольшего к оптимальной процедуре многоканального обнаружения с фиксированным временем наблюдения [24].

4.5.8. Процедура обнаружения с переменными порогами.

Одной из подоптимальных процедур сложного обнаружения является алгоритм отбора наибольшего с переменными порогами сравнения (рис. 4.9).

Соображения в пользу выбора переменного порога, приведенные в [55], носят эвристический характер и основываются на выборе такой процедуры, при которрй увеличение длительности, связанное со степенной трансформацией функции распределения [4—94], было бы частично компенсировано. Прямое решение задачи об экстремальной форме порогов может быть получено путем расчетов на ЭЦВМ.

Резюмируя данные о свойствах процедур сложного обнаружения, приведенных в § 4.5 можно отметить следующие особенности:

при увеличении числа каналов длительность процедуры возрастает по линейно-логарифмическому закону;

в отличие от случаев простого обнаружения при сложном обнаружении могут оказаться полезными процедуры с многократными пересечениями порогов или процедуры с переменным в ходе процедуры пороговым уровнем.