§ 3.3. ПОСТРОЕНИЕ СЛОЖНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ПРОЦЕДУРЫ ПРИ ЗАДАНИИ ДОПУСТИМЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ВЕРНЫХ И НЕВЕРНЫХ РЕШЕНИЙ

3.3.1. Рассмотрим ситуацию анализа совокупностей с I возможными решениями при и при условии одинаковых априорных вероятностей любой из гипотез.

В результате наблюдений за шагов возникает матрица выборочных значений Допустим, что

известны плотности вероятности полученных выборочных значений при любой из гипотез

и задана матрица ошибок где допустимая вероятность принять решение о гипотезе при действительно существующей гипотезе

Построим коэффициентов правдоподобия

удвоенное число сочетаний на I по 2). Условимся на шаге продолжать процедуру проверки, если

На шаге принимается решение, если совокупность коэффициентов правдоподобия

Если ни одна совокупность условий не выполняется, процедура продолжается (как нетрудно убедиться, рассматриваемая процедура приводит к однозначному решению).

Выбор пороговых значений проводится методом, аналогичным рассмотренному в § 1.2. Пусть на некотором шаге выполняются неравенства

Это означает, что при гипотезе вероятность неравенств (3.2) в раз больше, чем при гипотезе.

Таким образом, при выполнении неравенств (3.1) при данной процедуре среднее число выходов за пороги при гипотезе у в раз больше, чем при гипотезе

Тем самым

Согласно (3.3) получаем соотношение для выбора порогов

3.3.2. При анализе данных, извлекаемых из одной совокупности с возможными гипотезами в результате наблюдений за шагов возникает последовательность выборочных значений

Алгоритм решения состоит в проверке неравенств (3.2), где удовлетворяют условию (3.3); а аргументом в выражениях для коэффициента правдоподобия является последовательность

Как нетрудно проверить, в двухальтернативном случае условие (3.3) переходит в (1.33).

Исходя из предпосылок, развитых в настоящем разделе, и "теоремы Вальда-Вольфовица (см. § 1), можно считать весьма правдоподобной оптимальность рассмотренной процедуры, однако очевидна необходимость проведения соответствующих строгих доказательств.

В некоторых случаях оказывается удобным заменить процедуру (3.1) процедурой сравнения, получаемой из (3.1) монотонным преобразованием. Например, при использовании логарифмического преобразования получим условия выбора решения в виде

где