§ III.2. ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ ОБ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕДУРАХ ПОИСКА

III.2.1. Как было указано в § III-1, характеристиками операции однократного поиска являются величина затрачиваемых усилий и показатели качества операции.

В качестве показателей операции в системе с помехами могут использоваться значения вероятностей правильных и неправильных решений, погрешности определения параметров и искомых поведений и т. д.

Оптимальными процедурами поиска могут считаться процедуры, имеющие наиболее высокие показатели качества операции при заданных затратах усилий, или процедуры, обеспечивающие заданные качества операции при наименьших затратах усилий.

Задачи нахождения оптимальных процедур поиска являются вариационными задачами на условный экстремум.

Согласно общей методике теории статистический решений могут быть рассмотрены оптимальные байесовы и минимаксные процедуры.

Байесова процедура может быть (построена при известных априорных свойствах исследуемого пространства. При оптимальной байесовой процедуре достигается минимальное значение функционала среднего риска (см. ниже).

Минимаксная процедура используется при отсутствии априорных данных о свойствах исследуемого пространства, в качестве показателя эффективности процедуры в этом случае принимается верхняя граница минимального значения функционала риска.

Рассмотрим в качестве примера постановку задачи о построении режима обзора в системах радиообнаружения. В устройствах обнаружения существенным является вопрос об эффективности возможных способов обзора заданной зоны и способах нахождения наивыгоднейшего режима обзора.

Различие видов обзора сводится к способам распределения энергии в заданной зоне и выбору числа этапов, на которые разбивается допустимое время наблюдения.

Математическая формулировка задачи построения оптимального обзора может рассматриваться как задача определения программы обзора, при которой достигается максимизация некоторой выбранной величины, характеризующей эффективность процесса наблюдения.

Внешними условиями, вызывающими необходимость

неравномерного распределения энергии, являются возможное различие априорных данных о положении обнаруживаемых объектов, различие уровня помех в разных направлениях и т. д.

Возможными критериями эффективности режима обзора могут являться:

а) критерий максимизации (или минимизации) функционала, характеризующего эффективность процесса обзора при условии постоянства энергетических затрат на обзор зоны;

б) минимизация энергетических затрат при разных способах обзора при условии достижения одинаковых вероятностных показателей обнаружения.

Эффективность процесса обнаружения может определяться, например, интегральным выражением, характеризующим в среднем, вероятность правильное обнаружения при различных положениях объекта.

В зависимости от отношения сигнал/помеха в направлении х эффективность зондирования направления х может быть выражена величиной

где весовой множитель, учитывающий важность обнаружения в данном направлении и характер использования получаемой информации; вероятность правильного обнаружения объекта, находящегося в направлении х.

Среднее значение величины показывает эффективность выбранного режима обзора зоны

Алгоритм оптимального обзора может быть определен решением вариационной задачи максимизации функционала при условии сохранения энергетических затрат на обзор зоны

где спектральная плотность помех в направлении

Особенность рассматриваемой вариационной задачи заключается в том, что функция принимает, как это очевидно, только положительные значения.

III.2.2. Выбор оптимальных затрат при многоэтапном отборе. Сравнение различных способов многоэтапного поиска может производиться с помощью коэффициента эффективности, показывающего отношение энергетических затрат при простом способе однозаходного равномерного зондирования к затратам в рассматриваемом режиме при условии достижения одинаковых вероятностных показателей.

Коэффициент эффективности определяется, таким образом, соотношением

где число этапов зондирования; показатель энергетических затрат на этапе; функция распределения энергии по этапам.

Для расчетов по соотношению (III.4) должна быть известна функциональная зависимость распределения энергии по этапам, задаваемая принятой логикой процесса обзора.

Оптимизация (III.4) в общем случае аналитически весьма затруднительна, в силу чего является целесообразным рассмотрение частных хотя бы и подоптимальных примеров.