§ 3.6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ПРИ ОДНОВРЕМЕННОМ СРАВНИТЕЛЬНОМ АНАЛИЗЕ НЕСКОЛЬКИХ СОВОКУПНОСТЕЙ

3.6.1. Последовательные процедуры сравнительных испытаний представляют значительный интерес в ряде практических (и, в частности, радиотехнических) приложений. (Кроме примеров, рассмотренных ниже, примеры многоканального приема приведены в § 4.6, 4.7).

3.6.2. Сравнительный анализ двух биноминальных совокупностей (двойные дихотомии).

Рассмотрим выборочные данные, получаемые из двух биноминальных совокупностей I и II. Параметры распределения в каждой совокупности могут иметь значения или ((возможны случаи, когда параметры распределения в обоих совокупностях одинаковы).

Вообще говоря, могут быть рассмотрены четыре гипотезы (варианты, когда параметры распределений одинаковы и равны или и два варианта, когда параметры неодинаковы). Случаи, когда совокупности имеют одинаковые параметры, как правило, не различают, и, таким образом, представляет интерес случай выбора ной из трех гипотез

Процедура анализа строится с использованием трех коэффициентов правдоподобия

Выборка, состоящая из пар нулей и единиц характеризуется числом единиц полученных из первой совокупности, и числом единиц из второй совокупности.

Выражения для коэффициентов правдоподобия на шагах получают вид

Выбор 1-й гипотезы определяется значениями числа единиц из 1-й совокупностей. Предпочтительный выбор 2-й или 3-й гипотезы определяется значением разности числа единиц от 1-й и совокупностей.

Специальный интерес представляет случай, когда анализ двойной дихотомии имеет целью только сравнение неизвестных значений параметров т. е. процедура состоит в проверке двух гипотез: (случай рассмотрен в [1]).

В рассматриваемой задаче из всей совокупности выборочных пар должны быть использованы разнородные пары (1,0) .и (0,1), так как однородные пары не вносят дополнительной информации.

Вероятность получения пар вида (1,0) из общей совокупности разнородных пар равна

Пусть в рассматриваемой выборке из общего числа разнородных пар содержится пар вида (1,0).

Алгоритм выбора может быть основан на использовании функции

или

где

при

Процедура проверки двух гипотез сводится к выбору значений параметра (или параметра и):

Процедура с использованием (3.21) может быть представлена как испытание на определение значений параметра и

Коэффициент правдоподобия процедуры равен

Условие означает выбор гипотезы условие выбор гипотезы Процедура двойной дихотомии в этом случае сводится, таким образом, к эквивалентной двухальтернативной процедуре.

3.6.3. Отбор совокупности с наибольшим значением параметра.

В задачах сравнительных испытаний группы разнородных совокупностей имеет практическое значение задача об отборе совокупности с наибольшим значением параметра.

Рассмотрим для примера тройную дихотомию. Пусть имеются два возможных параметра распределения в совокупностях I, II и III.

Испытания проводятся относительно трех гипотез:

Пусть в течении шагов получено единиц от совокупностей I, II и III. Представим коэффициенты правдоподобия в виде

Логарифмируя (3.24), получаем:

Согласно (3.25) процедура испытаний на отбор совокупности с наибольшим значением параметра сводится к испытанию разностных выборочных показателей. При тройной дихотомии процедура сводится к испытанию разностей соответствующих чисел единиц

Аналогичный результат получается при рассмотрении задачи отбора совокупности с наибольшим значением параметра из произвольного числа совокупностей.

Рассмотренные примеры последовательного анализа сложных ситуаций показывают возможный характер многоальтернативного выбора и особенности используемых алгоритмов.

Наибольшие трудности возникают при статистическом анализе ансамбля разнородных совокупностей.

3.6.4. Сложные последовательные процедуры в многоканальных системах.

Важным примером сложных последовательных процедур анализа данных многих

совокупностей является выделение информации на отбор -канальной системы при воздействии помех.

Пусть имеется каналов, предназначенных для передачи информации, причем выделение полезной информации осуществляется на фоне помех, искажающих передаваемый сигнал.

Алгоритмы последовательных процедур выделения информации определяются характером передаваемых сигналов (т. е. набором возможных гипотез), статистической структурой помех и т. д.

Например, информация может одновременно передаваться по нескольким каналам либо присутствовать только в одном из каналов (ортогональная система гипотез).

В системе, где передача производится одновременно, по нескольким каналам, число возможных гипотез равно

где число сочетаний из по наибольшее возможное число каналов, занятых передачей сигналов. Оптимальная последовательная процедура здесь не известна.

При сигналах, задаваемых в форме повторяющихся посылок, может быть предложена последовательная процедура; представляющая собой совокупность простых последовательных процедур выбора в каждом из каналов.

Такая система, позволяющая раздельно фиксировать все номера каналов, в которых передается информация, называется системой с разрешающей способностью.

В системе, где передача производится в одном из каналов, число возможных гипотез равно (включая «нулевую» гипотезу об отсутствии полезной информации).

Здесь могут быть рассмотрены процедуры с числом решений, равном числу гипотез, когда определяется, в каком из каналов передается информация (система с разрешающей способностью), и случай двухальтернативной ситуации, когда определяется, есть ли сигнал хотя бы в одном из каналов (система с игнорированием разрешающей способности).

Последовательная процедура в системе с разрешающей способностью при передаче сигнала в одном из каналов может представлять отбор наибольшего из парциальных коэффициентов правдоподобия на каждом шаге и сравнения наибольшего коэффициента с порогом.

В системе с игнорированием разрешающей способности сложная последовательная процедура сводится к образованию единственного коэффициента правдоподобия (равного среднему значению от парциальных коэффициентов) и сравнению его с порогом.

Примеры последовательных процедур выделения информации в многоканальных системах приведены в § 4.6, 4.7.