§ III.6. ОСОБЕННОСТИ ПОИСКОВЫХ ПРОЦЕДУР В САМОНАСТРАИВАЮЩИХСЯ СИСТЕМАХ

III.6.1. Поисковые процедуры в самонастраивающихся системах могут сопровождаться либо зондированием области возможных значений параметров (как,

например, в случае оптимизатора зависимости вида по нескольким переменным, либо зондированием функционального пространства (в случае поиска оптимального метода решения).

Формулировка задачи об оптимизации процесса в смысле достижения наивысшего качества (точности) при заданных затратах (или в смысле достижения наименьших затрат при требуемом качестве) соответствует постановке, принятой ранее.

Отметим, что в отличие от процесса поиска в геометрическом пространстве (когда оптимальная процедура в ряде случаев достигается в режиме без запоминания промежуточных даннных) эффективный поиск в параметрическом пространстве, связанный с определением околоэкстремальной области и дальнейшим уточнением в сколько-нибудь сложных случаях, может быть построен на основании анализа промежуточных данных.

Приведем в качестве примера случай поиска экстремума но двум переменным, рассмотренный Фельдбаумом (см. [20]).

В качестве рабочих процедур для выбора «траекторий» движения в параметрическом пространстве могут рассматриваться следующие процедуры:

а) метод Гаусса — Зайделя, когда производится движение по одной переменной до нахождения частного экстремума, после чего происходит поиск по другой переменной и т. д.;

б) метод градиента, когда движение происходит в направлении градиента, т. е. в направлении наиболее крутого изменения функции;

в) метод наискорейшего спуска — перемещения по линии градиента вплоть до нахождения частного экстремума с последующим определением нового направления движения и т. д.

Аналитическое рассмотрение экстремальных процессов поиска в самонастраивающихся системах не является целью данного раздела; соответствующий аналитический аппарат и дискуссию результатов расчета см. в [20].

III.6.2. Возможность возникновения ошибочных решений при наличии помех приводит к необходимости таких изменений программы поиска, при которых достигался бы наиболее эффективный режим.

Рассмотрим важный для теории самонастраивающихся систем процесс поиска экстремального значения функции, зависящей от параметров системы.

Процесс поиска экстремального значения состоит из пробных шагов, по данным которых определяется положение точки настройки относительно экстремального

значения, и рабочих шагов, осуществляющих перестройку.

Для наглядности рассмотрим одномерную систему с конечным множеством точек настройки и дискретной перестройкой.

В отсутствие помех движение к экстремальной точке производится путем измерения знака приращения функции на шаге. При поиске максимального значения рабочее движение производится в направлении, в котором а при поиске максимального значения в направлении, в котором

Затраты на поиск определяются взвешенной суммой времени поиска

где и суммирование по учитывает пробные шаги; суммирование по у учитывает рабочие шаги; весовой коэффициент затрат на пробную перестройку; весовой коэффициент затрат на рабочую перестройку.

При воздействии помех появление ложных решений увеличивает необходимое количество пробных и рабочих шагов, при этом очевидно, что при относительно больших затратах, связанных с рабочей перестройкой (когда полезно повторение пробных шагов для уменьшения лишних рабочих шагов.

В силу случайного характера воздействия помех число рабочих шагов делается случайным и суммарные затраты также являются случайной величиной, определяемой соотношением

где в зависимости от направления шага; число рабочих шагов; число повторных пробных шагов в 1-й позиции.

Если число повторных пробных шагов в каждой позиции фиксировано и одинаково

Качество процедуры можно характеризовать величиной средних затрат

Величина зависит от вероятности ошибочного определения знака приращения зондируемой функции и может быть определена из следующих соображений.

Пусть после рабочих шагов расстояние параметра настройки от экстремальной точки составляет величину

где необходимое число рабочих шагов при отсутствии помех; число правильных решений за шагов; число ошибочных решений за шагов.

В момент окончания процесса поиска т. е. число рабочих шагов согласно (III.31) определяется соотношением

Обозначив вероятность ошибочного решения по данным пробных шагов функцией а получим

Среднее число рабочих шагов определится из соотношения для среднего значения правой части (III.32)

Подставляя значение из (III.33) получаем

Оптимальное число повторных пробных шагов при котором реализуются наименьшие средние затраты, может быть найдено из уравнения

Для решения (111.35) должна быть известна зависимость вероятности ошибочного решения от числа повторных пробных шагов и величины отношения сигнал/помеха.

Полагая экспоненциальную форму зависимости а получаем следующее уравнение для определения оптимального значения

Уравнение (111.36) является трансцендентным и допускает приближенные решения.

III.6.3. При использовании методов управления длительностью число повторных испытаний в каждой позиции является случайным.

Средние затраты определятся из (111.28) на основании теоремы о среднем значении суммы случайного числа случайных слагаемых

Вероятность ошибочного решения а по данным повторных пробных шагов группы средней продолжительности является функцией величины

Уравнение (III.37) отличается от (III.34) формой зависимости среднего числа рабочих шагов от среднего числа повторений пробных шагов.

Экономия в средней продолжительности времени анализа, возникающая при использовании последовательных процедур, по сравнению с процедурами, основанными на фиксированном числе повторных испытаний, приводит к соответствующей экономии затрат на поиск.

Величина средних затрат не характеризует, разумеется, достаточно полно возможное распределение затрат при выполнении процедуры поиска.

Дисперсия затрат (а при необходимости и более высокие моменты) может быть определена с помощью соотношений, применяемых при анализе статистических свойств сумм случайного числа случайных слагаемых (см., например, [7] и др.).