2.2. Производящая функция моментов

Если , то производящая функция моментов для находится следующим образом. Пусть Тогда, согласно следствию 1 из теоремы 2.1, случайный вектор X имеет распределение и

Последнее равенство следует из того, что подынтегральная функция представляет собой плотность распределения , так что соответствующий кратный интеграл равен единице. Заметим, что выражение (2.7) является очевидным обобщением выражения для производящей функции моментов одномерного нормального распределения имеющей вид

Можно показать что если матрица 2 положительно определена, то функция однозначно определяет плотность распределения вектора Мы используем этот факт для доказательства следующей теоремы.

Теорема 2.2. Если а С—матрица размера имеющая ранг то

Доказательство. Положим Тогда для каждого вещественного

Здесь мы обозначили и использовали соотношение (2.7). Поскольку матрица положительно определена то полученное выражение представляет собой производящую

функцию моментов распределения что и доказывает теорему.

Теорема 2.3. Взаимно независимые одномерные нормальные случайные величины остаются таковыми при любых ортогональных преобразованияхх).

Доказательство. Пусть взаимно независимые случайные величины, имеющие нормальные распределения со средними соответственно и одинаковыми дисперсиями Тогда, согласно теореме 2.1 (следствие 2), Положим где —ортогональная матрица размера Тогда и по теореме 2.2 мы имеем Значит, взаимно независимые нормально распределенные случайные величины с одинаковыми дисперсиями

Пример 2.3. Пусть независимые случайные из которых имеет распределение Докажем, что статистически не зависит от и что

Решение. Положим Тогда Пусть

т. е. где — ортогональная матрица размера (Это преобразование известно как преобразование Хельмерта.) Согласно теореме 2.3, получаем отсюда, что так что случайные величины взаимно независимы и каждая из них имеет

стандартное нормальное распределение. Далее,

Поскольку не зависит от то не зависит и от (теорема 1.9, § 1.5). Поэтому не зависит от Кроме того, так что (Следует отметить, что в качестве матрицы можно взять любую ортогональную матрицу с той же первой строкой, что и у использованной выше матрицы.)

Теорема 2.4. Если 2), то маргинальное распределение любого подмножества элементов вектора также имеет многомерное нормальное распределение.

Доказательство. Без ограничения общности в качестве указанного подмножества можно взять вектор Тогда

где С — некоторая - матрица ранга Отсюда, согласно теореме 2.2, получаем, что где верхняя левая угловая - подматрица матрицы .

Теорема 2.5. Случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение тогда и только тогда, когда для любых вещественных векторов а случайная величина имеет одномерное нормальное распределение.

Доказательство. Пусть где — матрица размера Если случайная величина имеет одномерное нормальное распределение, то (следствие 2 из теоремы 1.4) и Поэтому производящая функция моментов для X имеет вид (соотношение

причем это соотношение выполняется для всех Полагая мы получаем, что для каждого а

а это есть производящая функция моментов для . Поскольку при то и матрица положительно

определена. Поэтому Обратно, если то случайная величина имеет одномерное нормальное распределение (теорема 2.2: ранг вектора а равен единице).

Следствие. Если и при этом обе случайные величины имеют маргинальные стандартные нормальные распределения, то вектор имеет двумерное нормальное распределение в том и только том случае, когда случайная величина имеет одномерное нормальное распределение при любых вещественных

Мы показали, что многомерное нормальное распределение является единственным многомерным распределением, для которого любая комбинация имеет одномерное нормальное распределение. Это свойство единственности можно, по существу, использовать для самого определения многомерного нормального распределения. Заметим также, что если оба маргинальных распределения случайных величин нормальны, то отсюда еще не следует, что их совместное двумерное распределение является нормальным. Это видно из такого контрпримера:

Имеется и целый ряд других контрпримеров (см. Pierce, Dykstra (1969)).

Их можно строить, используя, например, методы Joshi (1970) и Еще раз подчеркнем, что в соответствии с доказанной теоремой случайная величина должна быть нормальной для всех вещественных и а не только для

Упражнения 2Ь

(см. скан)

(см. скан)