4.3. Каноническая форма модели при гипотезе H

Предположим, что наша задача состоит в проверке гипотезы где А—матрица размера ранга для модели полного ранга Поскольку матрица А имеет линейно независимых столбцов, можно без потери общности предполагать (изменяя в случае необходимости нумерацию параметров ), что этими столбцами являются последние ее столбцов. Таким образом, где невырожденная х-матрица. Разбивая соответствующим образом вектор получаем

и, умножая обе части последнего равенства слева на находим

Это означает, что при выполнении гипотезы Я модель регрессии имеет "канонический" вид

где - матрица размера - имеет ранг Столбцы матрицы линейно независимы, так как

Представляя гипотетическую модель в том же виде, какой имеет исходная модель видим, что для вычисления RSS и можно использовать один и тот же пакет программ, конечно, при условии, что отыскать матрицу в точном виде довольно просто. В том случае, когда матрицу отыскать трудно, числитель Лстатистики для проверки Я можно найти непосредственно, используя метод § 11.10.

Указанную теорию очень легко применить к гипотезе В этом случае матрица образована попросту первыми столбцами матрицы (См. также разд. 3.7.1, в котором эта задача решается в обратном порядке: сначала подбирается а затем дополняется до Другие ее применения указаны в гл. 9 и в следующем примере.

Пример 4.5 (Graybill (1961, с. 136)). Предположим, что у нас имеется наблюдений величин приводящих к модели

или где Пусть теперь мы получили еще дополнительных наблюдений, которые представляются моделью

или где Найдите -статистику для проверки гипотезы о том, что дополнительные наблюдения описываются первой моделью.

Решение. Предполагая, что столбцы матрицы линейно независимы, мы приходим к модели

или где -матрица размера ранга Поскольку гипотеза означает, что или, что равносильно, то применима общая теория регрессии. Каноническая форма модели при гипотезе имеет вид

где есть -матрица ранга (она содержит линейно независимых строк матрицы Соответствующая

F-статистика равна

где

и

Упражнения