Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Доказательство. Поскольку (согласно В1.5), имеем Искомый результат вытекает из симметрии матриц
Доказательство. Рассмотрим представление Векторы принадлежат так что Поэтому это представление является ортогональным разложением на и так как (в силу
3. Если произвольная матрица, для которой то со
Доказательство. В силу имеем
Если х принадлежит правой части, то
Обратно, если то Кроме того, если то т. е. Таким образом,
4. Если какая-нибудь матрица размера и ранга то тогда и только тогда, когда
Доказательство. В силу имеем Пусть строки матрицы Предположим, что Тогда столбцы матрицы линейно зависимы, и существует вектор который перпендикулярен Поэтому что противоречит предположению. (Выбирая линейно независимые строки матрицы мы найдем, что указанный результат остается верным и в том случае, если матрица имеет размер
(согласно В1.5), имеем 
Искомый результат вытекает из симметрии матриц 
Векторы 
принадлежат 
так что 
Поэтому это представление является ортогональным разложением 
на 
и 
так как 
(в силу 
произвольная матрица, для которой 
то со 
имеем
то 
Кроме того, если 
то 
т. е. 
Таким образом, 
какая-нибудь матрица размера 
и ранга 
то 
тогда и только тогда, когда 
имеем 
Пусть 
строки матрицы 
Предположим, что 
Тогда столбцы матрицы 
линейно зависимы, и 
существует вектор который перпендикулярен 
Поэтому 
что противоречит предположению. (Выбирая линейно независимые строки матрицы 
мы найдем, что указанный результат остается верным и в том случае, если матрица 
имеет размер 
