7.2.5. Оптимальное расположение наблюдений

Чтобы получить хороший доверительный интервал, необходимо выбрать значения таким образом, чтобы величина

была по возможности меньшей. Если интересующие нас значения х шкалированы таким образом, что они сосредоточены на отрезке и -четное, число, то в этом случае, как известно, максимальное значение по всем значениям из отрезка будет минимальным, если половину наблюдений взять при а другую половину — при Этот результат вытекает из § 8.4, поскольку такое расположение наблюдений приводит к минимаксному - оптимальному) плану (см. также Gaylor, Sweeny (1965), Herzberg, Сох (1972, с. 533)). Однако этот план (назовем его, скажем, оптимален только, если мы совершенно уверены в том, что модель одномерной линейной регрессии верна и дисперсии равны. Очевидно, что этот план был бы наихудшим из возможных, если регрессия в действительности квадратичная. Поскольку на практике мы можем захотеть проверить такое предположение, то наиболее уместно для этой цели выбрать план, который дал бы возможность исследовать коэффициент в выражении "оптимальным" образом. Например, план (назовем его минимизирующий соответствует проведению по наблюдений при наблюдений при Однако этот план может привести к весьма неэффективной оценке если коэффициент в действительности равен нулю, так что разумный компромисс состоит в выборе плана минимизирующего при заданной эффективности оценивания коэффициента которую можно определить как

где - оценка наименьших квадратов коэффициента в предположении В условиях симметричности планов Atkinson (1972) показал, что для заданного значение достигает минимума, если брать по наблюдений при наблюдений при . Если , что в действительности является минимальным значением то При возрастании имеем

Есть и другие решения указанной задачи. Stigler (1971) нашел -оптимальный план при условии для заранее выбраного С, a Atwood (1971) использовал соответствующую "линейную комбинацию" планов