11.2.3. Разложение в произведение треугольных матриц

Из представления (11.11) мы получаем также однозначно определенную факторизацию

в которой - нижняя треугольная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, верхняя треугольная матрица. Элементы матриц можно определить за шагов, на из которых мы сначала определяем строку матрицы V, а затем столбец матрицы L [Wilkinson (1967, 1974)]. Таким образом,

и

Решения нормальных уравнений получаем последовательным решением уравнений относительно относительно х (эти этапы называют соответственно, прямым и обратным ходом решения).

Представление (11.14) служит основой метода вычислений, называемого сокращенным методом Дулитла. Подробности выполнения этой процедуры на настольных калькуляторах можно найти, например, в работах Dwyer (1941, 1944), Anderson, Bancroft (1952) и Graybill (1961, с. 151). Отправляясь от расширенной матрицы мы вычисляем массив (для примера берем

где и При этом вектор х находится обратной подстановкой из уравнения или Этот метод, по существу, является вариантом метода исключения Гаусса. Из (11.3) вытекает, что [Fox (1964), Wilkinson (1973)].

Исходя из представления (11.11), мы можем получить и другую факторизацию:

которая служит основой метода вычислений, известного под названием метода Кроута [Fox (1964)]. Детали соответствующей процедуры вычислений на настольных калькуляторах приводит Graybill (1969, с. 290—294). Правда, последний связывает свою процедуру с сокращенным методом Дулитла. Однако, по существу, - оба эти метода -совпадают, различаясь только форматом. Wilkinson (1967, 1974) подробно рассматривает указанные выше методы факторизации матрицы В и приводит анализ ошибок получаемого решения х.