3.11. Оптимальное планирование
Каким образом экспериментатор выбирает матрицу X? На этот счет имеется целый ряд различных критериев. Наиболее популярны два из них. Первый состоит в минимизации значения или, что равносильно, максимизации значения 
Такой выбор матрицы X называется 
-оптимальным. Второй метод состоит в минимизации полной или средней дисперсии, т. е. минимизации величины 
Понятие 
-оптимальности, предложенное Kiefer (1959), весьма широко исследовано (по поводу обзора результатов и библиографии см. St. John, Draper (1975)). Многие из результатов первоначально были получены для частного случая полиномиальной регрессии (§ 8.4). Принцип 
-оптимальности еще более укрепился благодаря так называемой теореме эквивалентности [Kiefer, Wolfowitz (1960); см. также Whittle (1973), Silvey, Titterington (1974), Карлин, Стадден (1976, Новые идеи в планировании эксперимента (1969, Kiefer (1974], согласно которой максимизация определителя 
по некоторой области X равносильна минимизации максимальной дисперсии оценки 
для План, обладающий этим последним свойством, называется 
-оптимальным или минимаксным. В настоящее время имеется целый ряд алгоритмов для построения 
-оптимальных планов. Обзор их можно найти в работах St. John, Draper (1975). Фёдоров (1971, Фёдоров, Успенский (1975.
Хотя критерий, основанный на следе матрицы 
приводит к матрице X, имеющей ортогональные столбцы (§ 3.5, лемма), у него имеется ряд недостатков (например, зависимость от масштаба регрессоров), так что общее предпочтение отдается 
-оптимальности (см., например, Box М. J, Draper (1971)). Однако иногда экспериментальные планы удовлетворяют обоим критериям. Таков, например, 
-план с 
(по поводу доказательства, см. Box М. J, Draper (1971, приложение)).
Иногда 
-оптимальные планы предусматривают проведение эксперимента при числе последовательно создаваемых различных условий, равном числу оцениваемых параметров, как, например, в случае полиномиальной регрессии (§ 8.4), так что такой план может оказаться бесполезным с точки зрения проверки адекватности модели или сравнения конкурирующих моделей. Один из возможных подходов состоит здесь в том (Atkinson (1972), Atkinson, Сох (1974)), что рассматриваемая модель (или модели) вкладывается в более общую модель и план для оценки добавочных параметров выбирается каким-то оптимальным образом. При этом нас интересует только оптимальный критерий для подмножества
более общей модели. Подробные комментарии к этой проблеме читатель найдет в работах Atkinson (1972) и St. John, Draper (1975) и в § 8.4. С этой задачей связана и задача различения двух конкурирующих моделей [Atkinson, Сох (1974), Фёдоров (1978, Fedorov, Malyutov (1972].
Упражнения к гл. 3
(см. скан)
