2.4. Квадратичные формы от нормальных случайных величин
Весьма трудно удержаться от того, чтобы не привести в этом параграфе большого количества "популярных" теорем о квадратичных формах, доказанных в течение последних 20—30 лет. Однако, хотя эти теоремы сами по себе и интересны, они не являются необходимыми для дальнейшего изложения, поскольку теоремы 2.7 (§2.3) и 1.10 (§ 1.5) достаточно общие. Мы приведем только два весьма элегантных результата относительно идемпотентных матриц, которые очень легко использовать.
Теорема 2.8. Пусть 
и 
— некоторая симметричная матрица размера 
имеющая ранг 
Тогда для того, чтобы квадратичная форма 
имела распределение 
необходимо и достаточно, чтобы 
(т. е. матрица 
была идемпотентной).
Доказательство. Пусть 
Тогда 
собственных значений матрицы 
равны единице, а остальные 
ее собственных значений равны нулю 
Поэтому существует такая ортогональная матрица 
для которой 
где 
определяется в доказательстве 
Если 
то 
поскольку 
(теорема 2.3), так что случайные величины 
независимы и каждая из них имеет распределение 
Поэтому
Обратно, пусть 
Тогда 
Поскольку матрица 
симметрична, то существует ортогональная матрица 
для которой 
где 
значения матрицы 
Положим 
Тогда
Однако 
так что случайные величины 
независимы и каждая из них распределена как 
Следовательно,
Поэтому
и
тождественно по 
для достаточно малых В силу единственности системы корней многочлена отсюда вытекает, что 
значений 
должны равняться единице и 
значений 
нулю. Таким образом, 
Пример 2.5. Пусть 
Докажите, что 
Решение. В соответствии с доказанной теоремой матрица А является симметричной идемпотентной матрицей ранга 
Матрица 
также может быть выбрана симметричной, и при этом
Еще раз применяя указанную теорему, получаем, что 
где в силу 
Пример 2.6. Пусть 
причем каждая из квадратичных форм 
имеет распределение хи-квадрат. Покажите, что эти квадратичные формы независимы тогда и только тогда, когда 
Решение. Поскольку 
имеет распределение хи-квадрат, то матрица 
симметрична и идемпотентна. Если 
то 
(равная 
не зависит от 
с теоремой 2.7).
Обратно, пусть и 
независимые случайные величины, каждая из которых имеет распределение хи-квадрат. Тогда их сумма 
также имеет распределение хи-квадрат, т. е.
или
Умножая соотношение (2.18) слева (справа) на 
получаем пару уравнений
Отсюда 
и из уравнения (2.18) имеем
(Заметим, что предположение о том, что 
имеют распределение хи-квадрат, в действительности не является необходимым. Доказательство этого можно найти у Lancaster (1969).)
Пример 2.7. Пусть 
Докажите, что 
Решение. Как и в примере 1.12 из § 1.4, мы находим, что 
где матрица 
идемпотентна. Поэтому 
и искомый результат вытекает из теоремы 2.8.
Теорема 2.9. (Hogg, Craig (1958, 1970)). Пусть 
. Если 
то 
независимы и имеют распределения 
соответственно.
Доказательство. Если 
то 
(теорема 2.8). Кроме того, из 
вытекает, что матрица 
положительно полу определена. Поэтому она идемпотентна 
Отсюда в соответствии с теоремой 2.8 получаем, что 
где
В силу 
имеем также 
так что 
Поскольку к тому же 
то используя пример 2.6, мы приходим к выводу о том, что квадратичная форма 
(равная 
не зависит от квадратичной формы 
(равной 
Вопросам независимости квадратичных форм от нормальных случайных величин посвящена весьма обширная литература. За соответствующими ссылками читатель может обратиться к статье Styan (1970). Ряд существенно более коротких доказательств хорошо известных результатов привел Searle (1971, § 2.5, теоремы 3 и 4). Однако эти доказательства, использующие теорему 2.6 из настоящей главы, требуют и более тщательного разбора, поскольку они содержат комплекснозначные линейные комбинации нормальных случайных величин (так, например, 
теореме 3 книги Searle (1971) может принимать комплексные значения).
Имеются и более общие варианты теорем 2.8 и 2.9 Интересующийся ими читатель может также обратиться к Searle (1971, § 2.5).
