5.2. Доверительные полосы для поверхности регрессии

Если мы уже оценили вектор по наблюдениям то можно использовать предиктор

для исследования формы поверхности регрессии

при различных значениях регрессоров В частности, можно построить двусторонний -процентный доверительный интервал для значения при фиксированном значении вектора х, скажем при используя оценку

В соответствии с (4.24) получим интервал

где

Если нас интересуют различных значений вектора х, скажем то можно использовать любой из трех методов, обсуждавшихся в § 5.1, и получить двусторонних доверительных интервалов, для которых совместная вероятность накрытия будет не меньше (Использование в этой задаче интервалов Бонферрони и Шеффе восходит, по-видимому, к Lieberman (1961).)

Если нас интересуют все возможные значения вектора х, то, используя метод Шеффе, мы заключаем из (5.13), что попадает в области

сразу для всех с вероятностью, в точности равной . (Хотя на первый элемент вектора х у нас и наложено ограничение, а именно он равен единице, это вовсе не означает того, что в (5.18) должна стоять константа Дело в том, что этот интервал инвариантен относительно изменения масштаба любого из элементов вектора х. См. Miller R. G (1966, с. 110-114).) Выражение (5.18) приводит к паре поверхностей, определяемых функциями где

Область, заключенная между и обычно называется доверительной полосой. Как указал Miller R. G (1966), частью полосы, соответствующей тем участкам поверхности регрессии, которые не представляют интереса или не имеют физического смысла, пренебрегают. Это означает, что вероятность, относящаяся к доверительной полосе для поверхности регрессии, соответствующей ограниченной области значений вектора х, превосходит величину , и интервалы, задаваемые соотношением (5.18), являются более широкими, чем это необходимо. Задачу построения для поверхности регрессии доверительной полосы, имеющей доверительную вероятность, в точности равную при ограниченной области изменения вектора х, рассмотрели Wynn, Bloomfield (1971). Halperin, Gurian (1968) приводят решение этой задачи

для случая эллипсоидальной области, центр которой совпадает с вектором средних Различные решения, относящиеся к случаю одномерной линейной регрессии, детально рассматриваются в разд. 7.2.3.

Метод Шеффе, приводящий к интервалам (5.18), является частным случаем более общего метода, который разработал Bowden (1970). Пусть

Тогда, как показал Bowden (1970),

Здесь — верхняя -процентная точка распределения величины Полагая или и меняя значение х, можно получать различные типы доверительных полос. Если (случай одномерной линейной регрессии), то доверительная полоса либо имеет постоянную ширину или является трапециевидной , либо является гиперболической либо ограничена отрезками прямых Для метод Шеффе и его односторонний аналог обладают некоторыми оптимальными свойствами (Bohrer (1973)).

Если велико, то естественно выяснить, будут ли и в этом случае - интервалы (5.6), основанные на максимуме модулей, оставаться более узкими по сравнению с интервалами, определяемыми доверительной полосой (5.18), в частности когда Hahn (1972) вычислил отношение

длин этих интервалов для значений и для различных значений . В табл. 5.3, взятой из Hahn (1972, табл. 3), указаны максимальные значения , для которых установил также, что для указанных значений а отношение с уменьшением а несколько возрастает.