4.5.2. Гипотезы, допускающие проверку
Пусть 
где 
и матрица X имеет размер 
и ранг 
Предположим, что мы хотим проверить гипотезу 
где А — известная 
-матрица 
Поскольку матрица X теперь имеет неполный ранг, возникает новая проблема. Может оказаться, что гипотезу 
вообще нельзя проверить. Например, если строки матрицы А не зависят линейно от строк матрицы X (и, следовательно, 
то, согласно теореме 3.9 из § 3.8.1, для каждого 
существует некоторое 
удовлетворяющее уравнениям 
Такое 
определяется однозначно, если 
В последнем случае уравнения 
являются просто идентифицирующими ограничениями для определения 
так что значения вектора 0 не ограничиваются каким-либо подмножеством пространства 91 [X]. Поэтому, если 
обозначает 
строку матрицы А, мы можем игнорировать любое уравнение 
для которого 
не зависит лйнейно от
строк матрицы X, и наша допускающая проверку гипотеза описывается оставшимися уравнениями. Приходим к следующему определению.
Определение. Говорят, что гипотеза 
допускает проверку (testable), если строки матрицы к линейно выражаются через строки матрицы X, т. е. если существует такая 
-матрица 
для которой
Это определение применяется, когда строки матрицы А не являются линейно независимыми. Однако если 
-матрица А имеет ранг 
то и матрица 
должна иметь ранг 
(поскольку 
см. 
Указанное определение применимо и к более общему случаю 
где 
и 
Чтобы показать это, сдвинем начало координат (как в разд. 3.9.2) и редуцируем модель и гипотезу к виду
Здесь 
где 
решение уравнения 
-Хро. Ясно, что исходная модель допускает проверку тогда и только тогда, когда проверку допускает преобразованная гипотеза.
Заметим, наконец, исходя из разд. 3.8.2, что гипотеза Я допускает проверку тогда и только тогда, когда каждая линейная комбинация 
оцениваема.
Теорема 4.6. Пусть гипотеза 
где А — матрица размера 
ранга 
допускает проверку, и пусть RSS и 
минимальные значения 
без указанных линейных ограничений и при наличии таковых соответственно. Тогда
(i) если гипотеза Я верна, то
(ii) 
, где 
- любое решение уравнения 
Доказательство. (i) Приведем сначала модель и гипотезу к виду (4.41). При этом модель принимает вид 
где 
поскольку 
гипотеза Н обращается в 
На основании разд. 3.9.2 замечаем, что пространство 
имеет размерность 
Кроме того, поскольку 
то
При выполнении гипотезы 
справедливо равенство 
в силу 
Искомый результат получаем теперь, вспоминая теорему 4.5.
(ii) Из соотношения (3.68) (разд. 3.9.2) вытекает
(см. 
поскольку
К приведенным результатам можно прийти и другим, правда, довольно унылым путем, опираясь только на свойства обобщенных обратных матриц (см. 
Часть (i) доказанной теоремы более важна в практическом отношении, поскольку RSS и 
часто можно получать простым дифференцированием или даже, как во многих ситуациях дисперсионного анализа 
из вида самих формул.
Упражнения 4е
(см. скан)
