5.3. Доверительные интервалы для отклика

В предшествующем параграфе мы рассмотрели задачу предсказания для заданного значения значения поверхности

Таблица 5.3 (см. скан) Максимальное значение для которого (значение определяется формулой

регрессии На практике, однако, нас обычно больше интересует предсказание значения У самого отклика У:

Если предположить, что и что не зависит то

Это дает нам возможность построения -статистики и получения следующего -процентного доверительного интервала для

который можно сравнить с доверительным интервалом (5.17).

Если мы хотим предсказать значения для различных значений х, скажем то для этой цели можно использовать любой из трех описанных в разд. 5.1.1 методов и получить с их помощью доверительных интервалов, для которых вероятность одновременного накрытия будет не меньше . показал, что при для всех интервалов

где

вероятность в точности равна ,

Подобранные (эмпирические) регрессии используются для двух типов предсказания [Box (1966)]. (1) Для предсказания будущих значений отклика при пассивном наблюдении значений регрессоров Мы предполагаем при этом отсутствие какого бы то ни было вмешательства в систему, так что предложенная модель регрессии остается в силе и при последующих наблюдениях. (2) Для выяснения того, каким образом те или иные умышленные изменения значений регрессоров влияют на значения В этом случае цель состоит в реальной модификации системы для получения лучшего значения отклика У. Необходимость различения этих двух ситуаций подтверждается следующим примером, заимствованным с некоторыми изменениями из книги Box (1966).

Обнаружено, что при некотором химическом процессе нежелательное пенообразование может быть уменьшено путем увеличения давления В то же время известно, что производительность не связана непосредственно с изменением давления. Стандартная процедура управления процессом состоит при этом в увеличений давления при появлении пены. Предположим, однако, что действительной причиной пенообразования является наличие некоторой не вызывающей подозрения примеси и что (это не известно экспериментатору) возрастание концентрации этой примеси приводит к увеличению пенообразования и уменьшению Если переменные положительно коррелированы, так что увеличение давления приводит к увеличению количества примеси, то хотя величина и не определяется непосредственно изменениями тем не менее между имеется паразитная отрицательная корреляция, обусловленная тем, что влияет и на и на , но в противоположных направлениях. Это означает, что существует значимая регрессия на и подобранную регрессию можно использовать для адекватного предсказания значений если, конечно, система продолжает и в будущем вести себя так же, как и при записи выполненных наблюдений. Однако эта регрессия не указывает на истинную причинную связь событий. Мы впадаем в ошибку, полагая что можем увеличить путем уменьшения