8.3.2. Использование сплайн-функций

Основным дефектом метода кусочного подбора, описанного выше, является приписывание чрезмерного веса начальным отрезкам. Это означает, что ошибки округления и влияние плохого согласия накапливаются в процессе перехода от одной точки разбиения (называемой узлом) к другой, так что последний участок кривой может оказаться искаженным из-за ошибочности принятых на другом конце ограничений (см., например, Payne (1970, рис. 3 и 4)). Поэтому мы нуждаемся в таком методе наименьших кбадратов, который позволял бы осуществлять подбор сразу на всех отрезках разбиения только при условии непрерывности функции и некоторых ее производных в узлах. Эта частная задача кусочной аппроксимации привела к развитию целой теории сплайн-функций, основы которой заложил Schoenberg (1946).

Сплайн-функцией порядка (степени с узлами в точках (где и областью определения называется функция, обладающая следующими свойствами»

(1) В каждом из интервалов

функция является полиномом степени не выше

(2) Функция и все ее производные вплоть до порядка непрерывны. (Если конечны, что обычно и бывает на практике, то некоторые авторы называют узлами также и эти точки:

Кубический сплайн можно считать вполне удовлетворительной функцией для подбора, а свойство непрерывности вторых производных—адекватным в большинстве практических задач. Процедуру подбора кубических сплайнов методом наименьших квадратов при известных узлах подробно разобрал Poirier (1973). Он также рассмотрел вопрос проверки гипотез при использовании в промежутках между узлами линейных и квадратичных функций и гипотез относительно возможных изменений структуры. Дальнейшие сведения о свойствах кубических сплайнов имеются в работах Hayes (1970b, гл. 4, 6, 8, 9; 1974). В последней обсуждается вопрос выбора узлов в случае, когда они не известны (некоторые полезные соображения по этому поводу см. также в Wold (1974, с 2—3).

Всякий кубический сплайн с узлами можно единственным образом представить в виде

где

Данное представление содержит базисных функций (четыре степенных и односторонних кубических). Это наименьшее число функций, посредством которого можно представить произвольный кубический сплайн с узлами. Однако с вычислительной точки зрения гораздо лучшее представление достигается посредством так называемых -сплайнов, или фундаментальных сплайнов. Кубическим В-сплайном называется кубический сплайн, характеризующийся тем, что он отличен от нуля только на четырех смежных интервалах между узлами. Точнее, мы определяем -сплайн как такой кубический сплайн с узлами который обращается в нуль вне интервала (некоторые авторы используют интервал Оказывается, что (см. (8.21)) сохраняет знак на всем интервале (условимся брать его положительным) и имеет единственный

локальный максимум. (Сводку свойств В-сплайнов приводят Curry, Schoenberg(1966).)

Чтобы определить всю совокупность В-сплайнов, введем восемь дополнительных узлов: удовлетворяющих неравенствам

и

а в остальном произвольных. Обычно используют а и Остальные произвольны, и их можно выбирать, исходя из удобства вычислений. С точностью до возможных отличий в ошибках округления они никак не влияют на получаемый методом наименьших квадратов сплайн на . С учетом указанных дополнительных узлов мы можем определить фундаментальных сплайнов

Тогда произвольный кубический сплайн с узлами представляется на отрезке единственным образом в виде

Приведенные рассмотрения, относящиеся к фундаментальным сплайнам, взяты из работы Hayes (1974). К его статье можно обратиться за справками и деталями, относящимися к подбору методом наименьших квадратов. Относительно дальнейших при менений сплайн-функций к анализу данных см. Wold (1974).