6.3.2. Квадратично сбалансированные F-критерии

Пусть случайные величины независимы, имеют математические ожидания соответственно, общую дисперсию а также общие третий и четвертый центральные моменты. Пусть общий эксцесс. Тогда справедливы следующие теоремы (Atiqullah (1962)).

Теорема Пусть - такая симметричная идемпотентная матрица ранга что и пусть Если вектор, образованный диагональными элементами матрицы то

Доказательство, (i) Поскольку матрица симметрична и идемпотентна, то Кроме того, (теорема 1.7 из § 1.4), так что для всех 0, т. е. для всех 0 мы имеем Поэтому, полагая в теореме 1.8, получаем

(ii) В силу условия имеем

Поэтому матрица идемпотентна, и, согласно

Отсюда вытекает, что

Теорема 6.2. Пусть матрицы удовлетворяют условиям теоремы 6.1. Положим где

Тогда при бесконечном увеличении справедливы соотношения

и

Доказательство. Обозначим через числитель и знаменатель статистики упомянутой в условии теоремы, т. е. . Тогда, используя разложение Тейлора для логарифмической функции, получаем

Переходя к математическим ожиданиям и учитывая, что имеем

где в соответствии с теоремой 6.1

Подстановка этого выражения в правую часть равенства

приводит к (6.21).

Чтобы найти асимптотическое представление для заметим прежде всего, что

Далее, отбрасывая третий член в правой части (6.23), получаем и

Аналогично имеем

Наконец, подставляя полученные асимптотические выражения в правую часть (6.24), получаем соотношение

и используя теорему 6.1, приходим к (6.22).

Мы можем применить теперь полученные выше результаты к обычной -статистике, используемой для проверки гипотезы Из теоремы имеем

Предположим теперь, что мы отбрасываем условия, касающиеся конкретного вида распределений участвующих в определении величин, а лишь считаем, что независимы и одинаково распределены и Тогда (теорема 3.3 из § 3.3), и если гипотеза Я верна, то (в силу теоремы при предположение о нормальности при ее доказаг тельстве не используется). Кроме того, удовлетворяет условиям, сформулированным в начале этого раздела так что, когда гипотеза верна, то к -статистике (6.25) можно непосредственно применить теорему 6.2 при

В том случае, когда а следовательно, и распределены нормально, распределение случайной величины при гипотезе Я является, как известно, приближенно нормальным со средним и дисперсией, задаваемыми правыми частями выражений (6.21) и (6.22), в которых следует положить Поскольку, как очевидно, эта аппроксимация достаточно хороша даже при малых (порядка четырех), то не лишено смысла согласиться с утверждением Атикуллы о том, что при умеренном отклонении от условий нормальности распределение случайной величины все еще можно считать приблизительно нормальным со средним и дисперсией, задаваемыми! выражениями (6.21) и (6.22). При таком предположении случайная величина а поэтому и статистика будут приблизительно независимыми от если коэффициент при в (6.21) и (6.22) равен нулю, т. е. если

Используя терминологию Атикуллы, будем говорить, что критерий, построенный по статистике квадратично сбалансирован, если все диагональные элементы матрицы равны. Большинство обычных -критериев для сбалансированных планов эксперимента принадлежит к этой категории. Поскольку в этом случае имеем

Таким образом, условие квадратичной сбалансированности -критерия достаточно для выполнения (6.26).

Атикулла (1962, с. 88)] утверждает также, что условие квадратичной сбалансированности остается достаточным для того, чтобы и не зависели от эксцесса (с точностью до величин, имеющих порядок, используемый в (6.21) и (6.22)), и в том случае, когда изменяется от наблюдения к наблюдению.

Наконец, заметим, что если эксцесс можно оценить, то соотношения (6.21) и (6.22) можно использовать для изменения числа степеней свободы и улучшения соответствия между распределением указанного -отношения и -распределением