8.2.2. Получение ортогональных полиномов

Ортогональные полиномы можно получать различными способами. Следуя Forsythe (1957), который был пионером в этой области, Hayes (1974) предлагает использовать рекуррентное соотношение

с

Здесь переменная х нормирована так, что —а коэффициенты выбираются таким образом, чтобы выполнялись соотношения ортогональности (8.5), т. е.

и

где использовал значения от —2 до +2 и множитель 1 вместо 2 в (8.8). Эти два отличия в деталях, по существу, компенсируют друг друга, поскольку множитель, соответствующий каждому ортогональному полиному, является произвольным; см. например, Hayes (1969).) Отметим, что указанная процедура отыскания аналогична процедуре ортогонализации Грама-Шмидта с тем лишь отличием, что на каждом шаге используются два предыдущих

полинома. Программа для ЭВМ, основанная на методе Форсайта, приведена в работах Cooper (1968, 1971а, b).

Каждйй полином можно представить в вычислительной машине посредством его значений в (нормированных) точках или посредством соответствующих ему значений коэффициентов а и В то же время в статье Clenshaw (1960) приведена полезная модификация изложенного выше метода, в которой каждый многочлен представляется совокупностью коэффициентов его разложения по полиномам Чебышева

При этом в рекуррентном соотношении (8.8) используются уже коэффициенты и аппроксимирующий полином можно представить с помощью полиномов Чебышева в виде

Подстановкой (8.11) в (8.8) получаем рекуррентные соотношения

а подстановка (8.11) и (8.12) в соотношение

приводит к соотношению

в котором для

Хотя приведенная модификация требует вдвое или втрое большего машинного времени, чем метод Форсайта, в обоих этих случаях затраты машинного времени обычно малы. Таким образом, затраты времени не являются здесь решающим фактором, и Clenshaw, Hayes (1965, с. 180) рекомендуют в связи этим использовать модифицированную процедуру, поскольку она дает удобное представление результатов вычислений в сжатой форме. Например, коэффициент несет в себе больше информации, нежели коэффициенты . Hayes (1969) показал также, что рекуррентное соотношение (8.8) можно реализовать с помощью одних только коэффициентов и некоторых из сумм -При запоминании этих величин отпадает необходимость в запоминании и Другое полезное свойство модификации Кленшоу, на которое указал Hayes (1970а, с. 52), состоит в том, что поведение коэффициентов (при увеличении и фиксированном к) очень напоминает поведение (при возрастании Обе эти величины убывают, за исключением, быть может, самого начала, а затем их значения устанавливаются на каком-то

фиксированном уровне. Это свойство, проиллюстрированное в работе Hayes (1970а, разд. 8, примеры , дает нам еще один "признак", с помощью которого можно определять степень подбираемого полинома.

После того как коэффициенты в (8.12) уже вычислены, вычислить для любого желаемого значения х можно с помощью процедуры, указанной Clenshaw (1955). В этой процедуре сначала находятся некоторые вспомогательные числа получаемые по рекуррентной формуле

в которой После этого требуемое значение вычисляется по формуле

Погрешности модификации Кленшоу анализируются в работе Clenshaw, Hayes (1965, с. 169). В частности, там дан метод оценки численной погрешности в определении каждой из величин Эту оценку можно использовать затем, для оценки погрешности в определении значений в формуле (8.12), используя для этой цели соотношение (8.14) и вычисленные значения