6.2. Неправильные предположения о дисперсионной матрице

6.2.1. Общий случай

Если мы предполагаем, что а в действительности то все же остается несмещенной оценкой для Однако дисперсия этой оценки

в общем случае не равна и так как

(ср. с теоремой 3.3 из § 3.3), то обычно будет смещенной оценкой для Поэтому оценка

будет, как правило, смещенной оценкой для

В действительности, как показал Swindel (1968), если

то

где -наибольшее (наименьшее) собственное значение матрицы -среднее из наибольших (наименьших) собственных значений матрицы Граничные значения здесь достигаются. Watson (1955) рассмотрел случай

Представляет также интерес вопрос о том, при каких условиях оценка оказывается несмещенной при всех а. Следующий пример отчасти отвечает на этот вопрос.

Пример 6.2. Покажем, что для несмещенности оценки при всех а достаточно, чтобы для всех выполнялось соотношение где — оценка вектора получаемая по обобщенному методу наименьших квадратов.

Решение. Пусть для всех Тогда

или

Кроме того, согласно формуле (3.22) из § 3.6,

и комбинация двух предыдущих соотношений дает

Поэтому

и, сравнивая (6.9) и (6.10), заключаем, что несмещенная оценка для при всех а, если

Поскольку в выражении величина является всего-навсего произвольным масштабным множителем, мы без ограничения общности можем предполагать, что Тогда

и в силу (6.8)

Необходимые и достаточные условия совпадения и приведены в теореме 3.6 из § 3.6. Однако эти условия не могут помочь, если матрица V совсем не известна, хотя в ряде случаев может быть известной структура этой матрицы.