Глава 2. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

2.1. Определение

По аналогии с одномерной нормальной плотностью

т. е.

мы можем определить многомерную плотность

где - положительно определенная матрица размера

Теорема 2.1. Если - случайный вектор с плотностью распределения (2.1), то

Доказательство. (i) Поскольку матрица 2 положительно определена, то существует вещественная ортогональная матрица для которой

где - собственные значения матрицы , являющиеся положительными Пусть Якобиан этого преобразования равен

а его абсолютная величина равна 1, поскольку определитель любой ортогональной матрицы равен

Учитывая еще, что имеем

и

Функция будет плотностью, если -кратный интеграл от выражения, стоящего в правой части (2.1), взятый по всему пространству — равен единице. Отсюда мы получаем

поскольку

(ii) Если то плотность распределения случайной величины X имеет вид

Такая факторизация совместной плбтности указывает на то, что случайные величины взаимно независимы и В частности, Поэтому т. е. и

где независимые случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение . Таким образом, и так как сумма независимых случайных величин, имеющих распределение также имеет распределение

Определение. Если функция плотности случайного вектора имеет вид (2.1), то мы говорим; что имеет многомерное нормальное распределение, и записываем это в виде При подстрочный индекс в этой записи опускаем.

Следствие 1. Если , та .

Следствие 2. Если -взаимно независимые нормально распределенные случайные величины со средними соответственно и одинаковой дисперсией то

Доказательство.

Следствие 3.

Пример 2.1 (двумерное нормальное распределение). Пусть вектор имеет совместную плотность

где Докажем, что и найдем корреляцию между К, и

Решение.

где

Пусть

Матрица положительно определена в силу того, что ее главные миноры положительны Поскольку к тому же то, тем самым показано, что распределение вектора можно записать в виде Наконец, заметим, что

2), так что искомый коэффициент корреляции.

Пример 2.2 (Graybill (1961, стр. 60-61)). Пусть вектор имеет двумерное нормальное распределение где

Найдем соответствующие 0 и 2.

Решение. Прежде всего заметим, что

В соответствии с имеем - решение уравнения Это уравнение равносильно паре уравнений

Решая их, получаем . Далее, и не трудно показать, что

Замечание. Для случая, когда получил плотности вероятности следующих случайных величин: (так называемое рэлеевское распределение); угла между векторами и когда последние имеют одинаковые размерности; Вид соответствующих плотностей существенно упрощается, если независимы.

Упражнения 2а

(см. скан)