11.5.5. Разложение по сингулярным значениям

В разд. 3.8.1с мы уже видели, что вектор где обратная матрица Мура-Пенроуза для X, является решением уравнений наименьших квадратов. Можно показать, что всякая -матрица X может быть представлена в виде

где матрица размера образованная ортонормированными собственными векторами, соответствующими наибольшим собственным значениям матрицы XX (так что ); Q - ортогональная матрица размера образованная ортонормированными собственными векторами матрицы диагональная матрица размера Здесь и эти диагональные элементы матрицы (называемые сингулярными значениями матрицы X) равны квадратным корням из собственных значений матрицы Поскольку матрица положительно полуопределена, эти собственные значения неотрицательны. Кроме того, поскольку ранг матрицы X равен то Приведенное разложение матрицы X называется разложением по сингулярным значениям. Можно показать, что

где

Для отыскания надо вычислить только и Детали соответствующего алгоритма приведены в работах Golub (1969) и Golub, Reinsch (1970). Этот метод является точным, если матрица X даже очень плохо обусловлена, но имеет полный ранг. Он полезен также, если значение не известно. При этом, если некоторое оказывается по величине меньшим определенного допустимого значения, то оно считается равным нулю.