6.6.4. Графики частичных остатков

Предположим, что мы хотим более внимательно исследовать связь между остатками и регрессором Один из способов сделать это состоит в построении графика зависимости от "частичных остатков"

для [(см. Ezekiel, Fox (1959) и в особенности Larsen, McCleary (1972)]. Такой график, по существу, дает возможность исследовать зависимость между при устранении влияния на остальных регрессоров.

Интересно следующее свойство этого графика. Если мы рассматриваем линейную регрессию на имеющую вид прямой, проходящей через начало координат, то оценкой наименьших квадратов для углового коэффициента этой прямой будет Иначе говоря, сумма достигает минимума при Отличие оценки углового коэффициента от нуля, как и в случае обычного графика зависимости от позволяет экспериментатору объяснить наблюдающийся характер связи, ее величину и направление соответствующей прямой наличием выделяющихся наблюдений, а также нелинейностью. Кроме того, график частичных остатков обычно более точно показывает, как следует преобразовать для достижения линейности графика. Хорошая иллюстрация этого имеется в Larsen, McCleary (1972, с. 787).

Довольно естественным является следующий вопрос. Нужно ли проводить стандартизацию частичных остатков в результате которой они имели бы дисперсии, близкие к единице? Поскольку -Рто несмещенной оценкой для получаемой путем подбора прямой линии по графику частичных остатков (ср. с. (4.15) из разд. 4.1.4), будет

В то же время действительной несмещенной оценкой с наименьшей дисперсией, получаемой при подборе полной модели, является (ср. с (11.48) из разд. 11.7.1)

где множественный коэффициент корреляции между и остальными регрессорами. Поскольку то экспериментатор, как правило, переоценивает по графику частичных остатков (визуально) как устойчивость так и важность регрессора с точки зрения предсказания значений Эта переоценка не вызывает серьезных последствий, если значение не велико. Если же мы шкалируем частичные остатки с целью устранения указанного недостатка, то полученный в результате график будет преувеличивать любую имеющуюся нелинейность. Ввиду этого, следуя Larsen, McCleary (1972), кажется, предпочтительнее пользоваться нешкалированными частичными остатками.

Поскольку значение в регрессионной модели обычно приходится подбирать, можно построить также график зависимости от модифицированных остатков

для Слагаемое называется влиянием компоненты на [Daniel, Wood (1971, разд. 7.4)]. Соответствующий график Wood (1973) называет графиком "компонента плюс остаток"; в этой же статье приведены примеры таких графиков.

Заметим, что указанные выше графики частичных остатков (или графики "компонента-плюс-остаток") следует рассматривать в качестве дополнения к графикам обычных остатков, а не как замену последних.