А10. Разложение по сингулярным значениям

Пусть - матрица размера Тогда ее можно представить в виде

где — матрица размера образованная ортонормированными собственными векторами, соответствующими наибольшим собственным значениям матрицы XX; ортогональная матрица размера образованная ортонормированными векторами матрицы -диагональная матрица. Здесь - сингулярные значения матрицы X, равные квадратным корням из (неотрицательных) собственных значений матрицы

Доказательство. Предположим, что Тогда найдется такая ортогональная -матрица что

где Положим

Тогда и Таким образом, эти являются собственными векторами матрицы XX, соответствующими собственным значениям Далее, поскольку собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям симметричной

матрицы, ортогональны, векторы ортонормированы. В силу существуетортонормированный базис пространства . Но так что ортогональная матрица размера Поэтому

Наконец,

где — матрица, образованная первыми столбцами матрицы

Некоторые результаты из математической статистики

1. Для всякой случайной величины X выполняется неравен ство .

Доказательство. Пусть тогда

2. Пусть - неотрицательная невырожденная (т. е. не равная тождественно постоянной) случайная величина. Если соответствующие математические ожидания существуют, то

Доказательство. Пусть так как X не равняется тождественно нулю). Используя формулу Тейлора, получаем

где лежит между Далее, так Поэтому