8.3, Кусочно-полиномиальная аппроксимация

8.3.1. Неудовлетворительное согласие

Иногда полиномиальная аппроксимация оказывается неудовлетворительной даже при использовании ортогональных полиномов вплоть до порядка двадцатой степени. Отсутствие необходимого согласия обнаруживается обычно различными путями. Одким из симптомов этого может быть отсутствие стабилизации значений Остаточная сумма квадратов может, например, продолжать медленно уменьшаться. Характерно также поведение остатков: график зависимости от может показывать систематическую, а не случайную картину [см., например, Hayes (1970а, разд. 8, пример . В наихудших случаях в подобранной кривой будут наблюдаться волны, в конечном счете переходящие в осцилляции в промежутках между соседними точками наблюдений, особенно ближе к концам отрезка, на котором располагаются наблюдения. Такие трудности наиболее часто возникают в тех случаях, когда поведение изучаемой функции оказывается весьма различным на разных частях отрезка наблюдений. Функция может, например, быстро изменяться в одной области и медленно — в другой. В подобных ситуациях Hayes (1970а) предлагает использовать следующие два метода.

Первый из них состоит в следующем: если "неправильное поведение" отмечается на одном конце отрезка наблюдений, то с этим часто можно справиться путем применения надлежащего преобразования, помещая начало координат ближе к участку "неправильного поведения". Хотя этот подход есть, в сущности, метод проб и ошибок, Hayes (1970а) указывает, что с накоплением опыта результаты здесь улучшаются. Если мы хотим растянуть ту часть оси где функция меняется быстро, и сжать ту часть оси где функция меняется медленно, то следует преобразовать переменную х. Например, переход к логарифму часто пригоден в случаях, когда подозревается наличие вертикальной асимптоты, а использование дробной степени помогает в ситуациях, в которых подозревается наличие бесконечной производной при конечном значении функции. Иногда с такой задачей удается справиться, вводя в аппроксимирующую функцию неполиномиальные составляющие, как в разд. 8.2,4. Иногда бывает полезно преобразовать переменную У, хотя это может и вызвать необходимость использования для анализа взвешенного метода наименьших квадратов из-за непостоянства дисперсии. Полезный набор графиков, отражающих различные типы поведения функций, приводят Daniel, Wood (1971, с. 20—24).

Другая возможность действий в трудных случаях состоит в делении всего отрезка значений х на более мелкие отрезки и

в подборе на каждом из них разных кривых. Задача выбора подходящих точек разбиения отнюдь не проста и опять походит на метод проб и ошибок. Тем не менее, выбрав некоторое частное подразбиение, мы можем сначала подобрать полином на одном из двух крайних отрезков, используя данные, принадлежащие этому отрезку, и еще несколько точек вне его (чтобы гарантировать лучшие значения для производных в общей точке этого и соседнего с ним отрезков разбиения). Затем в точке, общей для выбранного и соседнего с ним отрезков, мы подсчитываем значения самого полинома и нескольких его первых производных, на которые мы накладываем требования непрерывности (обычно достаточно непрерывности первой производной). Следующий шаг состоит в использовании метода разд. 8.2.4, благодаря которому эти значения фиксируются при подборе полинома на следующем отрезке разбиения, в процессе которого опять привлекаются значения из последующего отрезка. Например, если общей для соседних отрезков является точка 1.4 и мы получили значения можно использовать

Действуя и далее подобным образом, мы продвигаемся от отрезка к отрезку, от одного конца кривой к другому ее концу. Затем исследуем согласие в целом и вводим дополнительные точки разбиения на тех участках, на которых согласие оказывается неудовлетворительным. Пример использования указанной процедуры см. в работе Hayes (1970а, разд. 8, пример