11.5.1. Метод Холецкого для обобщенной обратной матрицы для Х'Х

Если матрица В положительно полуопределена, то и тогда ее можно еще представить в виде где вещественная верхняя треугольная матрица. Строки матрицы опять можно получить по формулам (11.6) и (11.7). Однако при этом диагональных элементов оказываются нулями, и все остальные элементы соответствующих строк матрицы также надо положить равными нулю. Если решение уравнения то всякое решение уравнения будет и решением

уравнения Поэтому, если обобщенная обратная матрица для U (см. разд. 3.8.1с), то

Если, например, переставить столбцы матрицы В таким образом, чтобы первые столбцов были линейно независимыми, то для полученной матрицы В будем иметь

где . Тогда матрица

будет обобщенной обратной для матрицы и матрица

соответствующей перестановкой столбцов приводится к матрице, обобщенной обратной к В.

Как указал Healey (1968а), из-за ошибок округления при формировании матрицы В построенная матрица В может оказаться и невырожденной. Но даже если она и получится вырожденной, то ошибки округления все же повлияют на значения элементов строящейся затем матрицы А это означает, что элементы которые должны были бы теоретически обратиться в нуль, будут в действительности отличны от нуля. Поэтому сигналом для использования техники обобщенных обратных матриц должны служить "чрезмерно малые" значения скажем меньшие некоторой малой части Два подобных алгоритма построения матриц приведены в работе Healey (1968b) (см. также Farebrother, Berry (1974)),