Приложение В. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ

В1. Ортогональное разложение векторов

1. Если — векторное подпространство пространства -мерного евклидова пространства), то каждый -вектор у можно единственным образом представить в виде где

Доказательство. Предположим, что существуют два таких разложения . Тогда Поскольку же то мы должны иметь при этом

2. Матрица определяется соотношением однозначно.

Доказательство. Если существуют две такие матрицы , то, поскольку для каждого у вектор и определен однозначно, имеем для всех у. Отсюда вытекает, что

3. Матрицу можно представить в виде где столбцы матрицы образуют ортонормированный базис подпространства

Доказательство. Пусть где -размерность Дополним совокупность до ортонормированного базиса в пространстве именно, Тогда

где так что Поэтому

4. Матрица симметрична и идемпотентна.

Доказательство. Мы уже показали, что а эта матрица, очевидно, симметрична. Кроме того,

Доказательство. Очевидно, что так как проектирует Обратно, если то Таким образом, эти два пространства совпадают.

6. Матрица является матрицей ортогонального проектирования на

Доказательство. Из тождества у мы заключаем, что Теперь можно применить полученные выше результаты, поменяв ролями

7. Если — симметричная идемпотентная -матрица, то она является матрицей ортогонального проектирования на

Доказательство. Представим вектор у в виде Тогда так что это есть разложение вектора у на ортогональные компоненты. Сформулированный результат вытекает теперь из (5).

8. Если то где -произвольная обобщенная обратная матрица для (т. е. если то

Доказательство. Пусть Тогда - решение уравнения уравнения Поэтому для мы имеем где

Таким образом, мы получили ортогональное разложение вектора у, в котором . Поскольку же то (в силу

9. Если в (8) столбцы матрицы X линейно независимы, то

Доказательство. Соотношение (9) вытекает из (8), но этот результат можно доказать и непосредственно. Действительно, где С — невырожденная матрица (в силу (3)), и