6.3. Устойчивость F-критерия к отклонениям от нормальности

6.3.1. Влияние значений регрессоров

Как показали Box, Watson (1962), чувствительность -критерия к отклонениям от нормальности в значительной степени зависит от численных значений, принимаемых регрессорами. В рамках планирования эксперимента, когда все элементы матрицы X плана равны либо нулю, либо единице, это означает, что для некоторых планов связанные с ними критерии будут более устойчивыми. Box, Watson (1962) показали, например, что при надлежащем выборе матрицы X чуть ли не одну и ту же модель регрессии можно использовать и для получения критерия для сравнения средних, на, который отклонение от нормальности воздействует незначительно, и для получения критерия для сравнения дисперсий, заведомо чувствительного к отклонению от нормальности.

Пусть Рассмотрим гипотезу Если эта гипотеза верна и выполнены обычные предположения о характере регрессии, то

Если, однако, отойти от обычных предположений и считать, что независимые случайные величины с одинаковым, но уже не обязательно нормальным распределением, то, как показали Box, Watson (1962, с. 101), при выполнении гипотезы статистика распределена приблизительно как , и

где

или (с точностью до величин порядка

Здесь где и - выборочные семиинварианты, построенные по значениям , а С — многомерный аналог отношения для регрессорных переменных. Если а следовательно, и имеет нормальное распределение, то и

Мы видим, таким образом, что степень влияния любого отклонения распределения от нормального зависит от входящей в состав величины . Box, Watson показывают, что

причем нижняя граница здесь достижима, а верхняя граница, хотя к ней и можно подойти сколь угодно близко, тем не менее не достигается при конечном объеме выборки. Если регрессоры "приблизительно нормальны", то и -критерий не чувствителен к отклонениям от нормальности. Иначе говоря, характеризует "степень отклонения от нормальности" регрессоров, которая и определяет чувствительность -критерия к отклонениям от нормальности наблюдений

Если и то как показали Box, Watson,

Применяя теперь теорему к -матрице получаем Если все диагональные элементы матрицы равны, то и

Следовательно, в этом случае нижняя граница в (6.19) достигается, и F-критерий при больших становится нечувствительным к отклонениям от нормальности. Из условий симметрии нетрудно вывести, что любая перекрестная классификация с равным числом наблюдений в каждой клетке (например, модели гл. 9), а также любая иерархическая классификация с равным числом наблюдений на каждом уровне

иерархии (§ 9.5) представляют собой как раз планы с равными значениями

Указанная выше теория относится только к случаю Однако другой подход, предложенный Атикуллой [Atiqullah (1962)], допускает и более общие гипотезы. К детальному рассмотрению этого подхода мы сейчас и переходим.