Доказательство. Прежде всего, 
Но 
а
Поэтому
Следствие 1. Полагая 
и замечая, что 
(см. пример 1.8), получаем
Следствие 2. Если 
то 
Таким образом, в этом случае имеем следующее простое правило:
Пример 1.11. Пусть 
взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины, каждая из которых имеет среднее 0 и дисперсию 
Найдем математическое ожидание случайной величины 
Решение. При сделанных предположениях 
так что 
Поэтому можно применить следствие 2, взяв 
Полагая 
в 
равным 0, мы тем самым обращаем в нуль второе слагаемое в выражении для 
Учитывая, что
получаем соотношение 
и окончательно 
Пример 1.12. Пусть случайные величины 
имеют одинаковое среднее 0, а 
где 
Покажем, что 
является несмещенной оценкой для 
Решение. В этом случае 
где 
И опять второе слагаемое в 
обращается в нуль, так что
Теорема 1.8. Пусть имеется 
независимых случайных величин 
со средними 
одинаковыми дисперсиями 
и одинаковыми третьими и четвертыми центральными моментами 
соответственно (т. е. 
Если А — симметричная матрица размера 
— вектор-столбец, образованный ее диагональными элементами, то
(Этот результат приведен без доказательства в работе 
Доказательство. Заметим, что в векторно-матричной записи мы имеем здесь 
и что
Далее,
так что возведение в квадрат обеих частей дает
Полагая 
имеем 
и с использованием теоремы 1.7 (следствие 1) получаем
В качестве первого шага в преобразовании последнего выражения мы заметим, что
Так как случайные величины 
взаимно независимы и их начальные моменты до четвертого порядка включительно совпадают, то
Отсюда имеем
поскольку 
Далее,
и
так что
и
Объединяя полученные результаты, используя соотношение
и подставляя все это в соотношение (1.8), приходим к желаемому результату.
Следствие 1. Если случайные величины 
упомянутые в теореме, сверх того нормально распределены, то 
Следствие 2. Если в условиях следствия 
то
Упражнения lb
- случайный вектор размера 
симметричная 
-матрица. Если 
то
