6.6.5. Преобразованные остатки

Поскольку и матрица имеет ранг то мы можем, по крайней мере теоретически, преобразовать не связанных математической зависимостью остатков ортогональных функций от Иначе говоря, существует такая -матрица С ранга для которой Эта матрица удовлетворяет уравнениям

[Putter (1967)], так что Один из методов отыскания матрицы С, привлекший к себе определенное внимание в литературе

это так называемый НЛНШ-метод [Theil (1965, 1968), Koerts (1967), Abrahamse, Koerts (1969, гл. 3)]. Величины определяемые с помощью матрицы С, получаемой этим методом, называются наилучшими линейными несмещенными шкалированными (НЛНШ) остатками и обладают некоторыми свойствами оптимальности [Grossman, Styan (1972)]. Другой метод получения близкий к НЛНШ [Golub, Styan (1974)], описан в разд. 11.2.4 (см. соотношения (11.20) и (11.22)), где

После того как совокупность преобразованных остатков которые теперь уже независимы и одинаково распределены по закону найдена, можно использовать эти новые остатки для косвенного исследования любых отклонений от исходных предположений о распределении вектора Так, например, мы можем применить различные стандартные критерии для проверки нормальности, такие, как семь критериев, перечисленных в Dyer (1974): критерий Колмогорова-Смирнова или критерий Крамера-Смирнова (W2), критерий Андерсона-Дарлинга , критерии Ватсона и Купера модифицированный критерий Колмогорова критерий Уилка — Шапиро (№). Критерий Купера (Kuiper (I960)) довольно подробно рассматривают Koerts, Abrahamse (1969), которые предпочитают его критерию Однако критерий принадлежащий Шапиро и Уилку [Shapiro, Wilk (1965), см., в частности, Hahn, Shapiro (1967, с. 295)], является, по-видимому, наиболее мощным для некоторого разумного класса альтернатив [Dyer (1974), Shapiro и др. (1968), а также Huang, Bolch (1974)]. Вариант этого критерия для случая больших выборок приведен в Shapiro, Francia (1972). Относительно других заслуживающих интереса работ, посвященных рассмотренной задаче, см. Putter (1967) и Kowalski (1970). Другой подход к этой задаче состоит в таком преобразовании остатков которое исключает из рассмотрения Например, Csorgo и др. (1973) предложили несколько точных критериев для проверки нормальности, основанных на преобразовании указанных остатков к независимым величинам.

НЛНШ-остатки можно использовать и для проверки гипотез об ошибках спецификации [Ramsey 1969)] и о наличии сериальной корреляции [Koerts, Abrahamse (1969)]. Однако в последнем случае критерий Дёрбина — Ватсона из разд. 6.6.2 является более мощным [Durbin, Watson (1971)].

Хотя к необходимым нам остаткам приводит любое преобразование С, удовлетворяющее (6.53), большинство подобных преобразований не имеет смысла, поскольку подробные выводы относительно довольно трудно интерпретировать. Представим, например, что один из остатков выглядит как выделяющийся. Что это означает по отношению к исходной модели? Из-за какого

наблюдения это происходит? Одно частное преобразование, с помощью которого можно пытаться связать каждый выделяющийся остаток с некоторой точкой плана, описано в Hedayat, Robson (1970), а также в Brown и др. (1975). Последние авторы приводят методы проверки постоянства вектора по отношению к данным наблюдений.