А5. Идемпотентные матрицы

Матрица называется идемпотентной, если Симметричная идемпотентная матрица называется проекционной.

1. Симметричная матрица является идемпотентной матрицей ранга тогда и только тогда, когда ее собственных значений равны собственных значений равны 0.

Доказательство. Если то из вытекает, что Поэтому собственные значения матрицы равны либо 1, либо 0, и в силу ее собственных значений равны Обратно, если собственные значения равны 0 или 1, то мы можем без ограничения общности полагать, что единице равны первые собственных значений матрицы. Поэтому существует такая ортогональная матрица что

Следовательно,

2. Если — проекционная матрица, то

Доказательство. Если то в силу собственных значений матрицы равны единице и Отсюда

3. Если матрица идемпотентна, то такова же и матрица

Доказательство.

4. Проекционные матрицы положительно пол у определены. Доказательство.

5. Если - проекционные матрицы и разность положительно пол у определена, то

Доказательство. Если то Поскольку матрица положительно полуопределена то Поэтому для любого у мы имеем так как Таким образом, откуда вытекает, что Производя транспонирование, получаем и доказано.