Приложение А. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗ АЛГЕБРЫ МАТРИЦ

А1. След

Если соответствующие пары матриц согласованы, то

Доказательства этих результатов получаются непосредственной проверкой. Если А—симметричная матрица размера собственные числа, то

Доказательство. Поскольку матрица А симметрична, то существует такая вещественная ортогональная матрица что Поэтому . Тогда (4) вытекает из соотношения а (5) вытекает из соотношения (Заметим, что (3) выполняется для любой квадратной матрицы. В этом мы можем убедиться, рассматривая коэффициент при в уравнении

А2. Ранг

1. Если матрицы согласованы, то

Доказательство. Строки матрицы являются линейными комбинациями строк матрицы В, так что число линейно

независимых строк в матрице не больше, чем в матрице В, и Подобным же образом, столбцы матрицы являются линейными комбинациями столбцов матрицы А. Следовательно,

2. Если А — произвольная, а — любые две согласованные с А невырожденные матрицы, то

Доказательство.. Поскольку то и т. д.

3. Пусть А — произвольная -матрица, размерность (нулевого пространства, или ядра матрицы А), т. е. размерность пространства Тогда

Доказательство. Пусть - базис пространства Дополним эту совокупность векторов до базиса -мерного евклидова пространства Всякий вектор из -образа матрицы А—можно представить в виде

Предположим теперь, что

Тогда

. А это возможно, только если так что векторы линейно зависимы, Поскольку каждый вектор из можно выразить с помощью векторов то эти у, образуют базис Поэтому Поскольку наше доказательство завершено.

Доказательство. Поэтому ядраматриц совпадают. Поскольку же матрицы имеют одинаковое число столбцов, то, согласно Аналогично получаем, что откуда и вытекает искомый результат.

5. Если образ матрицы А (пространство, порожденное столбцами матрицы А), то

Доказательство. Для имеем так что В то же время, согласно эти два пространства должны совпадать, так как они имеют одинаковые размерности.

6. Если матрица А симметрична, то равняется числу ненулевых собственных значений.

Доказательство. В соответствии с

7. Всякая симметричная матрица А имеет ортонормированных собственных векторов, и пространство порождается теми из них, которые соответствуют ненулевым собственным значениям.

Доказательство. Из соотношения вытекает, что т. е. где Векторы ортогональны, поскольку —ортогональная матрица. Предположим, что Тогда

и пространство порождается векторами