11.5.3. Построение обобщенной обратной матрицы для матрицы X с использованием преобразований Хаусхольдера
Если матрица X имеет неполный ранг, то при этом разложение
(см. (11.18)) сохраняется, только
диагональных элементов матрицы
будут уже нулевыми (остальные диагональные элементы положительны). В то же время, если допустить такую перестановку столбцов матрицы X, при которой на каждом этапе максимизируется следующий диагональный элемент матрицы
(т. е. использовать выбор главных элементов), то с помощью
преобразований Хаусхольдера матрицу X можно привести к указанному выше треугольному виду, но только при этом матрица
приобретает форму (11.35). Таким образом,
для некоторой ортогональной матрицы
и некоторой матрицы перестановок
размера
Рассмотрим теперь матрицу [Golub, Stvan (1973))
Поскольку матрица
ортогональна, то матрица
симметрична,
Таким образом, матрица X является обобщенной обратной матрицей для X, удовлетворяющей условиям
разд. 3.8.1с. Поэтому
- решение нормальных уравнений.