11.5.3. Построение обобщенной обратной матрицы для матрицы X с использованием преобразований Хаусхольдера

Если матрица X имеет неполный ранг, то при этом разложение

(см. (11.18)) сохраняется, только диагональных элементов матрицы будут уже нулевыми (остальные диагональные элементы положительны). В то же время, если допустить такую перестановку столбцов матрицы X, при которой на каждом этапе максимизируется следующий диагональный элемент матрицы (т. е. использовать выбор главных элементов), то с помощью преобразований Хаусхольдера матрицу X можно привести к указанному выше треугольному виду, но только при этом матрица приобретает форму (11.35). Таким образом,

для некоторой ортогональной матрицы и некоторой матрицы перестановок размера Рассмотрим теперь матрицу [Golub, Stvan (1973))

Поскольку матрица ортогональна, то матрица

симметрична, Таким образом, матрица X является обобщенной обратной матрицей для X, удовлетворяющей условиям разд. 3.8.1с. Поэтому - решение нормальных уравнений.

Для отыскания остатков мы произведем разбиение где матрица размера и рассмотрим вектор

где вектор имеет теперь размер а не Поскольку в силу имеем

и