4.1.2. Основания для использования F-критерия

Чтобы ответить на вопрос, почему мы в первую очередь стали рассматривать статистику приведем два возможных обоснования такого выбора.

Рассмотрим статистику По теореме

Таким образом, представляется в виде где (поскольку матрица положительно определена). В то же время (теорема 3.3 из § 3.3)

Если гипотеза верна, то так что и являются несмещенными оценками для т. е. Если же гипотеза не верна, то так что

(в силу независимости и в силу Таким образом, значение несколько проясняет "истинное положение дел". Гипотеза отвергается, если значение оказывается значимо большим.

Обосновать употребление статистики можно и путем рассмотрения критерия отношения правдоподобия для проверки гипотезы Я. Функцией правдоподобия в рассматриваемой модели является плотность вероятностей вектора а именно

Решая уравнения получаем оценки максимального правдоподобия

причем максимум функции правдоподобия равен (То, что оценка максимального правдоподобия для совпадает с оценкой наименьших квадратов для этого параметра, не должно вызывать удивления, поскольку, несмотря на наличие мешающего параметра максимизация равносильна минимизации квадратичной формы, стоящей в показателе экспоненты.)

Используя метод, практически идентичный применявшемуся в разд. 3.9.1, найдем, что оценками максимального правдоподобия для при ограничениях будут Максимальное значение равно в этом случае

Статистика отношения правдоподобия равна

и в соответствии с принципом отношения правдоподобия мы отвергаем гипотезу Я, если значение слишком мало.

Поскольку статистика

зависит от монотонным образом, то это означает, что мы отвергаем гипотезу , если значение слишком велико.