1.3. Оператор взятия математического ожидания и ковариационный оператор

Пусть совокупность случайных величин, имеющих математические ожидания Представляя совокупность этих случайных величин и их математических ожиданий в матричной форме, можно определить общий оператор взятия математического ожидания матрицы

Определение.

В частности, если то

Теорема 1.1. Если -матрицы размеров соответственно, элементы которых суть некоторые постоянные, то

Доказательство. Пусть Тогда имеем

В этой теореме произвольные положительные целые числа, а элементы матриц могут принимать любые значения. Поэтому, например, справедливо

Следствие. Если X — случайный вектор размера то

Теорема 1.2. Если матрицы размера с постоянными элементами, а случайные векторы размера то

Доказательство. Доказательство проводится непосредственно и предлагается читателю в качестве упражнения.

Следствие

Аналогичным образом можно обобщить понятия дисперсии и ковариации для векторов. Если случайные векторы размеров то обобщённый ковариационный оператор определяется следующим образом.

Определение.

Теорема 1.3.

Доказательство. Пусть Тогда

Определение. Если то записывается в виде и называется дисперсионной (дисперсионно-ковариационной) матрицей вектора Таким образом,

Поскольку указанная матрица симметрична. Заметим, что если то

Пример 1.8. Если а — постоянный вектор размера то

Решение. Из соотношения

получаем

Пример 1.9. Докажем, что

Решение. Раскрывая скобки в выражении и используя теорему 1.1, легко показать, что

Замена и использование примера 1.8 приводят к искомому результату.

Теорема 1.4. Если — случайные векторы размеров соответственно, а постоянные матрицы размеров соответственно, то

Доказательство. Пусть Тогда в силу теорем 1.3 и 1.1 имеем

Следствие 1.

Следствие 2.

Теорема 1.5. Пусть произвольные (не обязательно различные) случайные векторы размера Тогда для всех действительных чйсел а, 6, с и (включая и нулевые значения) имеет место соотношение

Доказательство. В силу теорем 1.3 и 1.2 (следствие) имеем

Следствие. Полагая получаем

Теорема 1.6. Если ни один из элементов случайного вектора X не является линейной комбинацией остальных элементов этого вектора (т.е. не существует таких и , что для всех то матрица положительно определена

Доказательство. Для любого постоянного вектора с имеем

(Здесь мы использовали следствие 2 из теоремы 1.4.) Равенство имеет место тогда и только тогда, когда константа, т.е. тогда и только тогда, когда или Поскольку первая из этих двух возможностей исключена по условию, то и матрица положительно определена.

Пример 1.10. Пусть случайные векторы размеров соответственно, причем ни один из элементов вектора X не является линейной комбинацией остальных его элементов. Докажем, что существует -матрица для которой

Решение. Полагая в теореме 1.5 и используя теорему имеем

В силу предыдущей теоремы матрица положительноопределена, а значит, не вырождена Поэтому приведенное выражение обращается в нуль, если т.е. при

Упражнения 1а

(см. скан)