Главная > Линейный регрессионный анализ
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.2. Множественный коэффициент корреляции

Пусть задана линейная модель и мы хотим установить, является ли регрессия с заданными регрессорами значимой. Иными словами, мы хотим проверить гипотезу Гипотеза имеет вид где матрица размера и ранга так что применима общая теория регрессии с и

Поэтому

и если гипотеза верна.

Статистика приводит к критерию для "всей" регрессии в целом, и мы отвергаем гипотезу , если (Здесь верхняя -процентная точка распределения Если гипотеза отвергается, то мы говорим, что регрессия значима и переменными нельзя, вообще говоря, пренебрегать. В то же время отклонение гипотезы вовсе не означает того, что аппроксимирующая регрессия действительно адекватна. Это замечание особенно существенно, когда мы имеем дело с прогнозированием. Исходя из приведенных выше соображёний, (1966, с. 64) предлагают в качестве рабочего правила считать, что аппроксимирующая поверхность может быть удовлетворительной для целей прогнозирования, только если

Полезной мерой степени соответствия аппроксимирующей регрессии имеющимся данным является выборочный множественный коэффициент корреляции Он определяется как коэффициент корреляции между т. е.

Величину обычно называют коэффициентом детерминации. Докажем сейчас одну полезную теорему, обобщающую соотношения (4.18) и (4.20).

Теорема 4.2.

Доказательство, (i) Поскольку то

Кроме того, дифференцируя сумму по получаем одно из нормальных уравнений для , именно

или

Используя это соотношение, находим

поскольку

(первое равенство следует из (4.29), а последнее из (4.28)).

(ii) Из соотношения (4.29) вытекает, что так что

и требуемое выражение для немедленно следует из (4.27).

Отметим, что коэффициент есть простое обобщение коэффициента который появлялся у нас в случае одномерной линейной регрессии. В частности, равенству (4.21) здесь соответствует равенство

из которого видно, что, чем больше значение тем лучше аппроксимирующая поверхность соответствует данным наблюдений. Если то имеем полное соответствие и Если модель содержит единственный х-регрессор, то

Взяв где — обобщенная обратная матрица для находим, что доказанная теорема остается в силе и в случае неполноты ранга матрицы Можно также взять где матрица образована линейно независимыми столбцами матрицы

Покажем теперь, что критерий для проверки произвольной гипотезы вида не затрагивающей значения (а большинство критериев относится именно к такой категории), можно рассматривать как критерий для проверки значимости уменьшения величины

Теорема 4.3. Пусть величина определяется и

Пусть линейные ограничения не затрагивают значения т.е. Тогда -статистика для проверки

гипотезы Я имеет вид

Доказательство. Согласно соотношению (4.4), где симметричная идемпотентная матрица. Поэтому

Ограничения не содержат так что если то равенство приводит к т.е. Таким образом, соотношения (4.28) и (4.29) остаются в силе и при гипотезе Я. Следовательно, теорема 4.2, связанная только с этими двумя соотношениями, также сохраняет силу при гипотезе Я. Дважды применяя обе части теоремы, получаем

Вероятно, наиболее важным является применение этой теоремы к гипотезам вида . В этом случае при введении дополнительного регрессора, скажем остаточная сумма квадратов не может увеличиваться, а, следовательно, коэффициент детерминации — уменьшаться, поскольку (а поэтому и .

Пример 4.4 (Goldberger (1964, с. Докажем, что в общей линейной модели регрессии полного ранга статистика и -статистика для проверки гипотезы не зависят от единиц измерений, в которых выражены

Решение. Для Положим Пусть у—оценка наименьших квадратов вектора в новых единицах измерения. Тогда если то

и

В соответствии с примером 4.3 F-статистикой для проверки гипотезы Я является

где есть диагональный элемент матрицы Если соответствующий ему элемент в то и

Упражнения 4с

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru