2.3. Независимость нормальных случайных величин

Хорошо известно, что из независимости случайных величин вытекает их некоррелированность. В этом параграфе мы приведем две теоремы, которые показывают, что иногда справедливо и обратное.

Теорема 2.6. Пусть . Предположим, что вектор разбит на два подмножества

первое из которых состоит из элементов, Тогда для статистической независимости случайных векторов и необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Если независимы, то независимой будет и любая пара элементов Поэтому

и

Обратно, если

то

и

(Правую часть для краткости мы обозначили в виде суммы ) Отсюда получаем

что и завершает доказательство теоремы.

Следствие. Доказанная теорема легко обобщается следующим образом. Если для всех то случайные векторы взаимно независимы (а не только попарно независимы).

Теорема 2.7. Предположим, что Пусть матрица х составлена из линейно независимых строк матрицы Если при этом то

(i) случайный вектор не зависит от ;

(ii) случайные величины и независимы.

Доказательство. Пусть матрица составлена из линейно независимых строк матрицы В. Поскольку в силу теоремы 1.4 имеет место соотношение

то каждый столбец матрицы А ортогонален каждой строке матрицы В. Поэтому, если

то строки матрицы линейно независимы и вектор имеет многомерное нормальное распределение (теорема 2.2). Положим Тогда из соотношения вытекает, что так что векторы статистически независимы (теорема 2.6).

Без ограничения общности можно предположить, что

где строки матрицы линейно зависят от строк матрицы В, т. е. существует такая матрица что или Тогда

Обозначим правую часть последнего равенства через Тогда по теореме 1.9 вектор не зависит от случайной величины , равной Аналогично доказывается, что и случайная величина не зависит от

Следствие 1. Обобщая приведенное выше доказательство и используя следствие из теоремы 2.6, можем доказать следующее утверждение. Если и ковариация любой пары этих случайных векторов равна нулю, то случайные величины взаимно независимы.

Следствие 2. Утверждение теоремы остается в силе и в случае, когда .

Доказательство. Поскольку матрица 2 положительно определена, то существует такая невырожденная матрица что Положим Тогда Строки матрицы линейно независимы, так как ранг матрицы не изменяется от умножения ее на невырожденную матрицу Кроме того, так что

и (теорема 2.2) Для завершения доказательства достаточно применить теорему 2.7 к вектору

Следствие 3. Если то для независимости линейных комбинаций необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Положим Тогда

и сфармулированный результат вытекает из рассуждений, следующих за соотношением (2.14).

С точки зрения преподавания приведенная теорема и следствия из нее представляются мне гораздо более полезными, нежели огромное разнообразие цитируемых в литературе теорем, относящихся к независимости квадратичных и линейных форм. Тем не менее в интересах полноты изложения мы приведем некоторые из этих теорем в § 2.4.

Пример 2.4. Пусть независимые случайные величины, каждая из которых имеет распределение Докажем, что случайные величины независимы,

Решение. В нашем случае где

что можно, представить в виде Для имеем

(Здесь мы использовали теорему 1.5.) Отсюда по теореме 2.7 получаем, что не зависит от VV.

Упражнения 2с

(см. скан)